Cho hai góc kề bù xOy và yOx'. Vẽ Oz, Ot lần lượt là tia phân giác của góc xOy và yOx'

Để chứng minh rằng \( Ot \parallel mm' \), chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của các góc kề bù và các tia phân giác của chúng.

1. **Gọi các góc:**
- \( \angle xOy = \alpha \)
- \( \angle yOx' = \beta \)

Vì \( \angle xOy \) và \( \angle yOx' \) là hai góc kề bù, ta có:
\[
\alpha + \beta = 180^\circ
\]

2. **Tia phân giác:**
- Tia \( Oz \) là tia phân giác của \( \angle xOy \), do đó:
\[
\angle xOz = \angle zOy = \frac{\alpha}{2}
\]
- Tia \( Ot \) là tia phân giác của \( \angle yOx' \), do đó:
\[
\angle yOt = \angle tOx' = \frac{\beta}{2}
\]

3. **Quan hệ giữa các góc:**
- Vì \( \alpha + \beta = 180^\circ \), ta có:
\[
\frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = \frac{180^\circ}{2} = 90^\circ
\]
- Do đó:
\[
\angle zOy + \angle yOt = 90^\circ
\]

4. **Đường thẳng \( mm' \):**
- Qua điểm \( K \in Oz \) (với \( K \neq O \)), vẽ đường thẳng \( mm' \) song song với \( Oz \).

5. **Chứng minh \( Ot \parallel mm' \):**
- Vì \( mm' \parallel Oz \), nên góc giữa \( mm' \) và \( Oy \) bằng góc giữa \( Oz \) và \( Oy \):
\[
\angle (mm', Oy) = \angle (Oz, Oy) = \frac{\alpha}{2}
\]
- Tương tự, góc giữa \( Ot \) và \( Oy \) là:
\[
\angle (Ot, Oy) = \frac{\beta}{2}
\]

- Vì \( \frac{\alpha}{2} + \frac{\beta}{2} = 90^\circ \), ta có:
\[
\angle (Oz, Oy) + \angle (Ot, Oy) = 90^\circ
\]

- Do đó, các góc này bổ sung cho nhau để tạo thành góc vuông, và vì \( mm' \parallel Oz \), nên \( Ot \parallel mm' \).

Vậy, chúng ta đã chứng minh được rằng \( Ot \parallel mm' \).