Cho tam giác ABC vuông tại A có B = 30° AB = 4cm . Tính AC và BC. Chứng minh rằng sin²30 Giải nhanh giúp mình ạ!!!

Để giải bài toán này, ta sẽ làm theo các bước sau:

### Phần a: Tính AC và BC

Cho tam giác ABC vuông tại A, góc B = 30°, AB = 4 cm.

1. **Tính AC:**

Trong tam giác vuông, ta có thể sử dụng định lý về tỉ số lượng giác của góc 30°.

\[
\sin B = \sin 30° = \frac{AC}{BC}
\]

Ta biết rằng \(\sin 30° = \frac{1}{2}\).

Do đó:

\[
\frac{AC}{BC} = \frac{1}{2}
\]

Suy ra:

\[
AC = \frac{1}{2} BC
\]

2. **Tính BC:**

Trong tam giác vuông, ta có thể sử dụng định lý Pythagore:

\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]

Thay AC = \(\frac{1}{2} BC\) vào phương trình trên:

\[
BC^2 = AB^2 + \left(\frac{1}{2} BC\right)^2
\]

\[
BC^2 = 4^2 + \left(\frac{1}{2} BC\right)^2
\]

\[
BC^2 = 16 + \frac{1}{4} BC^2
\]

Nhân cả hai vế với 4 để loại bỏ mẫu số:

\[
4BC^2 = 64 + BC^2
\]

Chuyển BC^2 về một vế:

\[
4BC^2 - BC^2 = 64
\]

\[
3BC^2 = 64
\]

\[
BC^2 = \frac{64}{3}
\]

\[
BC = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3} \text{ cm}
\]

3. **Tính AC:**

Từ AC = \(\frac{1}{2} BC\):

\[
AC = \frac{1}{2} \times \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ cm}
\]

### Phần b: Chứng minh rằng \(\sin^2 30° + \cos^2 30° = 1\)

1. **Tính \(\sin 30°\) và \(\cos 30°\):**

\[
\sin 30° = \frac{1}{2}
\]

\[
\cos 30° = \frac{\sqrt{3}}{2}
\]

2. **Chứng minh:**

\[
\sin^2 30° + \cos^2 30° = \left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2
\]

\[
= \frac{1}{4} + \frac{3}{4}
\]

\[
= \frac{1 + 3}{4}
\]

\[
= \frac{4}{4}
\]

\[
= 1
\]

Vậy ta đã chứng minh được rằng:

\[
\sin^2 30° + \cos^2 30° = 1
\]

### Kết luận:

a) AC = \(\frac{4\sqrt{3}}{3}\) cm, BC = \(\frac{8\sqrt{3}}{3}\) cm.

b) \(\sin^2 30° + \cos^2 30° = 1\).