Để chứng minh rằng \( BD \parallel GH \), ta sẽ sử dụng các tính chất của hình bình hành và các phép biến hình.

**Bước 1: Xác định các vector liên quan**

- G là đỉnh thứ tư của hình bình hành \( CADG \), do đó:
\[
\overrightarrow{G} = \overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A}
\]

- H là đỉnh thứ tư của hình bình hành \( CABH \), do đó:
\[
\overrightarrow{H} = \overrightarrow{C} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}
\]

**Bước 2: Tính vector \( \overrightarrow{GH} \)**

Ta có:
\[
\overrightarrow{GH} = \overrightarrow{H} - \overrightarrow{G}
\]

Thay các giá trị của \(\overrightarrow{H}\) và \(\overrightarrow{G}\) vào:
\[
\overrightarrow{GH} = (\overrightarrow{C} + \overrightarrow{B} - \overrightarrow{A}) - (\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A})
\]

Rút gọn:
\[
\overrightarrow{GH} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{D}
\]

**Bước 3: Tính vector \( \overrightarrow{BD} \)**

Ta có:
\[
\overrightarrow{BD} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}
\]

**Bước 4: So sánh các vector**

Từ các bước trên, ta thấy:
\[
\overrightarrow{GH} = \overrightarrow{B} - \overrightarrow{D} = -(\overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}) = -\overrightarrow{BD}
\]

Điều này có nghĩa là:
\[
\overrightarrow{GH} \parallel \overrightarrow{BD}
\]

Do đó, ta có:
\[
BD \parallel GH
\]

Vậy, ta đã chứng minh rằng \( BD \parallel GH \).