### Bài 1:
Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Từ điểm M bất kỳ trên cạnh BC, kẻ MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC. Chứng minh rằng năm điểm A, D, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn.

#### Chứng minh:
1. **Xét tứ giác ADMH:**
- \( \angle ADH = 90^\circ \) (do MD vuông góc với AB)
- \( \angle AMH = 90^\circ \) (do ME vuông góc với AC)
- Do đó, \( \angle ADH + \angle AMH = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
- Suy ra, tứ giác ADMH nội tiếp đường tròn (định lý tứ giác nội tiếp).

2. **Xét tứ giác AMHE:**
- \( \angle AME = 90^\circ \) (do ME vuông góc với AC)
- \( \angle AHE = 90^\circ \) (do AH vuông góc với BC)
- Do đó, \( \angle AME + \angle AHE = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
- Suy ra, tứ giác AMHE nội tiếp đường tròn (định lý tứ giác nội tiếp).

3. **Kết luận:**
- Từ hai tứ giác ADMH và AMHE nội tiếp đường tròn, suy ra năm điểm A, D, M, H, E cùng nằm trên một đường tròn.

### Bài 2:
Cho tam giác ABC vuông tại A, gọi D là điểm đối xứng với A qua cạnh BC. Chứng minh rằng bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

#### Chứng minh:
1. **Xét tam giác ABC:**
- \( \angle BAC = 90^\circ \)

2. **Xét điểm D đối xứng với A qua BC:**
- Do D đối xứng với A qua BC, nên D nằm trên đường thẳng vuông góc với BC tại A.
- Do đó, \( AD \) là đường cao của tam giác ABC.

3. **Xét tứ giác ABDC:**
- \( \angle BAC = 90^\circ \)
- \( \angle BDC = 90^\circ \) (do D đối xứng với A qua BC, nên \( \angle BDC = \angle BAC \))
- Do đó, \( \angle BAC + \angle BDC = 90^\circ + 90^\circ = 180^\circ \)
- Suy ra, tứ giác ABDC nội tiếp đường tròn (định lý tứ giác nội tiếp).

4. **Kết luận:**
- Bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn.

Như vậy, chúng ta đã chứng minh được các yêu cầu của bài toán.