Tam giác ABC vuông tại A (AB < AC); đường cao AH. Cho AB = 2cm; AC = 2√3 cm. Tính BC, AH

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Bước 1: Tính độ dài cạnh BC
Tam giác ABC vuông tại A, nên ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính độ dài cạnh BC.

Theo định lý Pythagoras:
\[ BC^2 = AB^2 + AC^2 \]

Với AB = 2 cm và AC = 2\sqrt{3} cm, ta có:
\[ BC^2 = 2^2 + (2\sqrt{3})^2 \]
\[ BC^2 = 4 + 4 \cdot 3 \]
\[ BC^2 = 4 + 12 \]
\[ BC^2 = 16 \]
\[ BC = \sqrt{16} \]
\[ BC = 4 \text{ cm} \]

### Bước 2: Tính độ dài đường cao AH
Trong tam giác vuông, đường cao AH từ đỉnh góc vuông A đến cạnh huyền BC có thể được tính bằng công thức:
\[ AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} \]

Thay các giá trị đã biết vào công thức:
\[ AH = \frac{2 \cdot 2\sqrt{3}}{4} \]
\[ AH = \frac{4\sqrt{3}}{4} \]
\[ AH = \sqrt{3} \text{ cm} \]

### Bước 3: Chứng minh \( x^2 = y^2 + z^2 \)
Gọi \( x, y, z \) lần lượt là chu vi của các tam giác ABC, ABH và ACH.

Chu vi tam giác ABC:
\[ x = AB + AC + BC \]
\[ x = 2 + 2\sqrt{3} + 4 \]
\[ x = 6 + 2\sqrt{3} \]

Chu vi tam giác ABH:
\[ y = AB + BH + AH \]

Chu vi tam giác ACH:
\[ z = AC + CH + AH \]

Ta cần tính BH và CH. Do AH là đường cao từ A đến BC, ta có:
\[ BH = \frac{AB^2}{BC} \]
\[ BH = \frac{2^2}{4} \]
\[ BH = \frac{4}{4} \]
\[ BH = 1 \text{ cm} \]

Tương tự:
\[ CH = \frac{AC^2}{BC} \]
\[ CH = \frac{(2\sqrt{3})^2}{4} \]
\[ CH = \frac{12}{4} \]
\[ CH = 3 \text{ cm} \]

Vậy:
\[ y = AB + BH + AH \]
\[ y = 2 + 1 + \sqrt{3} \]
\[ y = 3 + \sqrt{3} \]

\[ z = AC + CH + AH \]
\[ z = 2\sqrt{3} + 3 + \sqrt{3} \]
\[ z = 3\sqrt{3} + 3 \]

Bây giờ, ta cần chứng minh:
\[ x^2 = y^2 + z^2 \]

Tính \( x^2 \):
\[ x = 6 + 2\sqrt{3} \]
\[ x^2 = (6 + 2\sqrt{3})^2 \]
\[ x^2 = 36 + 24\sqrt{3} + 12 \]
\[ x^2 = 48 + 24\sqrt{3} \]

Tính \( y^2 \):
\[ y = 3 + \sqrt{3} \]
\[ y^2 = (3 + \sqrt{3})^2 \]
\[ y^2 = 9 + 6\sqrt{3} + 3 \]
\[ y^2 = 12 + 6\sqrt{3} \]

Tính \( z^2 \):
\[ z = 3\sqrt{3} + 3 \]
\[ z^2 = (3\sqrt{3} + 3)^2 \]
\[ z^2 = 27 + 18\sqrt{3} + 9 \]
\[ z^2 = 36 + 18\sqrt{3} \]

Tổng \( y^2 + z^2 \):
\[ y^2 + z^2 = (12 + 6\sqrt{3}) + (36 + 18\sqrt{3}) \]
\[ y^2 + z^2 = 48 + 24\sqrt{3} \]

Vậy:
\[ x^2 = y^2 + z^2 \]

Điều này chứng minh rằng:
\[ x^2 = y^2 + z^2 \]

Vậy ta đã hoàn thành việc tính toán và chứng minh yêu cầu của bài toán.