Để tính các độ dài BC, BH, CH trong tam giác vuông ABC với các thông tin đã cho, ta có thể làm theo các bước sau:

1. **Tính độ dài BC:**
Tam giác ABC vuông tại A, nên ta có thể áp dụng định lý Pythagore:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Thay các giá trị đã biết vào:
\[
BC^2 = 20^2 + 15^2 = 400 + 225 = 625
\]
\[
BC = \sqrt{625} = 25 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài BH và CH:**
Ta sử dụng công thức tính diện tích tam giác để tìm BH và CH. Diện tích tam giác ABC có thể được tính theo hai cách:
- Sử dụng chiều cao AH:
\[
S = \frac{1}{2} \times BC \times AH = \frac{1}{2} \times 25 \times 12 = 150 \text{ cm}^2
\]
- Sử dụng chiều cao từ B và C:
\[
S = \frac{1}{2} \times AB \times CH = 150 \text{ cm}^2 \implies AB \times CH = 300 \implies 20 \times CH = 300 \implies CH = 15 \text{ cm}
\]
\[
S = \frac{1}{2} \times AC \times BH = 150 \text{ cm}^2 \implies AC \times BH = 300 \implies 15 \times BH = 300 \implies BH = 20 \text{ cm}
\]

Vậy, các độ dài cần tìm là:
- BC = 25 cm
- BH = 20 cm
- CH = 15 cm