Để tính tổng \( G \) của dãy số được cho trong hình, ta cần xác định quy luật của dãy số này.

Dãy số được cho là:
\[ G = 1 + \frac{9}{45} + \frac{9}{105} + \frac{9}{189} + \ldots + \frac{9}{29997} \]

Ta có thể thấy rằng các mẫu số của các phân số là các số lẻ tăng dần. Cụ thể:
\[ 45, 105, 189, \ldots, 29997 \]

Các mẫu số này có thể được biểu diễn dưới dạng:
\[ 45 = 3 \times 3 \times 5 \]
\[ 105 = 3 \times 5 \times 7 \]
\[ 189 = 3 \times 3 \times 7 \]

Như vậy, các mẫu số có thể được biểu diễn dưới dạng tích của các số nguyên tố. Tuy nhiên, để đơn giản hóa, ta có thể nhận thấy rằng các mẫu số này đều là bội của 3 và các số lẻ khác.

Để tính tổng \( G \), ta có thể viết lại dãy số dưới dạng tổng của các phân số với mẫu số là các số lẻ tăng dần:

\[ G = 1 + \frac{9}{45} + \frac{9}{105} + \frac{9}{189} + \ldots + \frac{9}{29997} \]

Ta có thể viết lại dãy số này dưới dạng tổng của các phân số với mẫu số là các số lẻ tăng dần:

\[ G = 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{9}{(2k+1)(2k+3)} \]

Để tính tổng này, ta có thể sử dụng phương pháp phân tích phân số thành các phân số đơn giản hơn:

\[ \frac{9}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{A}{2k+1} + \frac{B}{2k+3} \]

Giải hệ phương trình để tìm \( A \) và \( B \):

\[ 9 = A(2k+3) + B(2k+1) \]

Giải hệ phương trình này, ta có:

\[ A = 3, B = -3 \]

Do đó:

\[ \frac{9}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{3}{2k+1} - \frac{3}{2k+3} \]

Tổng \( G \) trở thành:

\[ G = 1 + \sum_{k=1}^{n} \left( \frac{3}{2k+1} - \frac{3}{2k+3} \right) \]

Đây là một chuỗi teleskoping, và các số hạng sẽ triệt tiêu lẫn nhau, chỉ còn lại các số hạng đầu và cuối:

\[ G = 1 + 3 \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{2n+3} \right) \]

Khi \( n \) tiến đến vô cùng, tổng \( G \) sẽ tiến đến:

\[ G = 1 + 3 \left( \frac{1}{3} - 0 \right) = 1 + 1 = 2 \]

Vậy tổng \( G \) của dãy số này là:

\[ G = 2 \]