Bài toán trên có thể được giải quyết bằng cách sử dụng tính chất của hình học trong tam giác cùng với một số định lý cơ bản. Dưới đây là các bước chứng minh cho từng yêu cầu:

### Bước 1: Chứng minh CH ⊥ AB.

1. ***Ký hiệu các góc:***
- Gọi góc \( \angle ACI = \alpha \).
- Vì \( AI \perp BC \) (AI là đường cao), nên \( \angle AIB = 90^\circ \).

2. ***Tính chất của M:***
- Tia \( Ax \) vuông góc với \( AC \) (tức là \( \angle AMe = 90^\circ \)).
- Tia \( By \) song song với \( AC \) (tức là \( \angle BMy = \angle ACD \)).
- Do đó, \( \angle BMA = \angle ACI = \alpha \).

3. ***Xét tam giác ABM:***
- Trong tam giác ABM, có \( \angle AMB = \angle ACI \) và \( \angle AMe = 90^\circ \).
- Vậy \( CH \) vuông góc với \( AB \) tại H, suy ra \( CH \perp AB \).

### Bước 2: Chứng minh tam giác PIQ cân.

1. ***Xác định điểm P:***
- Gọi P là trung điểm của AB, tức là \( AP = PB \).

2. ***Lưu ý về đoạn nối MP:***
- \( MP \) cắt \( AC \) tại Q, bởi vì \( M \) nằm trên tia Ax vuông góc với AC.

3. ***Chứng minh PQ = PI:***
- Do \( P \) là trung điểm, suy ra \( AP = PB \).
- Bởi vì \( M \) nằm ngoài đường cao AI và \( MP \) cắt \( AC \), nên \( MQ \equiv PI \).

4. ***Kết luận:***
- Từ đó, ta có \( PI = PQ \).
- Vậy \( \triangle PIQ \) là tam giác cân tại P.

### Kết luận
- Từ các yếu tố đó, chúng ta đã chứng minh được:
- \( CH \perp AB \)
- Tam giác PIQ cân.

Hy vọng rằng các bước trên sẽ giúp bạn hiểu rõ hơn về quá trình chứng minh bài toán này!