Để tìm giá trị của \( x \) sao cho biểu thức \( P = \frac{6}{\sqrt{x} + 5} \) đạt giá trị nguyên, chúng ta có thể làm như sau:

1. **Xét P là số nguyên**: Gọi \( P = k \), với \( k \) là số nguyên. Ta có phương trình:
\[
k = \frac{6}{\sqrt{x} + 5}
\]
Suy ra:
\[
\sqrt{x} + 5 = \frac{6}{k}
\]

2. **Giải phương trình**:
\[
\sqrt{x} = \frac{6}{k} - 5
\]
Bình phương hai bên, ta được:
\[
x = \left(\frac{6}{k} - 5\right)^2
\]

3. **Điều kiện giá trị của \( k \)**:
Để \( \sqrt{x} \) là số không âm, ta cần:
\[
\frac{6}{k} - 5 \geq 0 \implies \frac{6}{k} \geq 5 \implies k \leq \frac{6}{5}
\]
Vì \( k \) là số nguyên, ta có thể có \( k = 1 \).

4. **Tính giá trị của \( x \)** với \( k = 1 \):
\[
x = \left(\frac{6}{1} - 5\right)^2 = (6 - 5)^2 = 1^2 = 1
\]

5. **Kiểm tra**:
Khi \( x = 1 \):
\[
P = \frac{6}{\sqrt{1} + 5} = \frac{6}{1 + 5} = \frac{6}{6} = 1
\]
Là số nguyên.

Vậy giá trị \( x = 1 \) làm cho \( P \) đạt giá trị nguyên.