Tìm x, thỏa mãn: √(x1^2-1)+2√(x2^2-2^2)+...+n√(xn^2-n^2) =(1/2)(x1^2+x2^2+...+xn^3)

Để tìm \( x_1, x_2, ..., x_n \) thỏa mãn phương trình

\[ \sqrt{x_1^2 - 1} + 2 \sqrt{x_2^2 - 2^2} + \cdots + n \sqrt{x_n^2 - n^2} = \frac{1}{2} (x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2), \]

chúng ta sẽ phân tích từng vế của phương trình.

### Vế trái
Vế trái của phương trình là

\[ \sqrt{x_1^2 - 1} + 2 \sqrt{x_2^2 - 4} + \cdots + n \sqrt{x_n^2 - n^2}. \]

### Vế phải
Vế phải của phương trình là

\[ \frac{1}{2} (x_1^2 + x_2^2 + \cdots + x_n^2). \]

### Cách tiếp cận
Để giải phương trình này, chúng ta cần kiểm tra từng giá trị của \( x_i \) để tìm những giá trị thỏa mãn phương trình trên.

### Giải phương trình khi \( n = 1 \)
Khi \( n = 1 \), phương trình trở thành:

\[ \sqrt{x_1^2 - 1} = \frac{1}{2} x_1^2. \]

Bình phương hai bên:

\[ x_1^2 - 1 = \left( \frac{1}{2} x_1^2 \right)^2 \]
\[ x_1^2 - 1 = \frac{1}{4} x_1^4 \]
\[ 4x_1^2 - 4 = x_1^4 \]
\[ x_1^4 - 4x_1^2 + 4 = 0 \]

Đặt \( y = x_1^2 \), ta có:

\[ y^2 - 4y + 4 = 0 \]
\[ (y - 2)^2 = 0 \]
\[ y = 2 \]
\[ x_1^2 = 2 \]
\[ x_1 = \pm \sqrt{2} \]

Vậy, khi \( n = 1 \), \( x_1 = \sqrt{2} \) hoặc \( x_1 = -\sqrt{2} \).

### Giải phương trình khi \( n = 2 \)
Khi \( n = 2 \), phương trình trở thành:

\[ \sqrt{x_1^2 - 1} + 2 \sqrt{x_2^2 - 4} = \frac{1}{2} (x_1^2 + x_2^2). \]

Tử tương tự như trên, ta có thể tìm \( x_1 \) và \( x_2 \).

Những bước tiếp theo tương tự sẽ được lặp lại cho các giá trị cao hơn của \( n \).

Do đó, phương trình này có thể có nhiều nghiệm khác nhau tùy thuộc vào giá trị cụ thể của \( n \). Các giá trị chính xác phụ thuộc vào \( n \) và phải tính chi tiết như ví dụ trên.