Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( R = 2x^2 + 2xy + 5y^2 - 8x - 22y \), ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm hoặc phương pháp hoàn thành bình phương.

### Bước 1: Tính đạo hàm
Tính đạo hàm theo \( x \) và \( y \):

1. **Theo \( x \)**:
\[
\frac{\partial R}{\partial x} = 4x + 2y - 8
\]

2. **Theo \( y \)**:
\[
\frac{\partial R}{\partial y} = 2x + 10y - 22
\]

### Bước 2: Giải hệ phương trình
Giải hệ phương trình \( \frac{\partial R}{\partial x} = 0 \) và \( \frac{\partial R}{\partial y} = 0 \):

1. Từ \( 4x + 2y - 8 = 0 \):
\[
2y = 8 - 4x \implies y = 4 - 2x
\]

2. Thay vào \( 2x + 10y - 22 = 0 \):
\[
2x + 10(4 - 2x) - 22 = 0 \implies 2x + 40 - 20x - 22 = 0
\]
\[
-18x + 18 = 0 \implies x = 1
\]
Thay \( x = 1 \) vào \( y = 4 - 2(1) = 2 \).

### Bước 3: Tính giá trị của \( R \)
Thay \( x = 1 \) và \( y = 2 \) vào biểu thức \( R \):

\[
R = 2(1^2) + 2(1)(2) + 5(2^2) - 8(1) - 22(2)
\]
\[
= 2 + 4 + 20 - 8 - 44 = -26
\]

### Kết luận
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức là \(-26\).