Để tính biểu thức \((6 : \frac{3}{5} - 1 \frac{1}{6} \times \frac{6}{7}) : (4 \frac{1}{5} \times \frac{10}{11} + 5 \frac{2}{11})\), chúng ta sẽ thực hiện từng bước một.

### Bước 1: Tính phần tử bên trái

1. **Tính \(6 : \frac{3}{5}\)**
\[
6 : \frac{3}{5} = 6 \times \frac{5}{3} = \frac{30}{3} = 10
\]

2. **Tính \(1 \frac{1}{6} \times \frac{6}{7}\)**
- Đầu tiên, chuyển \(1 \frac{1}{6}\) sang dạng số thập phân:
\[
1 \frac{1}{6} = 1 + \frac{1}{6} = \frac{6}{6} + \frac{1}{6} = \frac{7}{6}
\]
- Sau đó, thực hiện phép nhân:
\[
\frac{7}{6} \times \frac{6}{7} = 1
\]

3. **Tính tổng lại:**
\[
10 - 1 = 9
\]

### Bước 2: Tính phần tử bên phải

1. **Tính \(4 \frac{1}{5} \times \frac{10}{11}\)**
- Chuyển \(4 \frac{1}{5}\) sang dạng số thập phân:
\[
4 \frac{1}{5} = 4 + \frac{1}{5} = \frac{20}{5} + \frac{1}{5} = \frac{21}{5}
\]
- Thực hiện phép nhân:
\[
\frac{21}{5} \times \frac{10}{11} = \frac{210}{55} = \frac{42}{11}
\]

2. **Tính \(5 \frac{2}{11}\)**
- Chuyển \(5 \frac{2}{11}\) sang dạng số thập phân:
\[
5 \frac{2}{11} = 5 + \frac{2}{11} = \frac{55}{11} + \frac{2}{11} = \frac{57}{11}
\]

3. **Tính tổng lại:**
\[
\frac{42}{11} + \frac{57}{11} = \frac{99}{11} = 9
\]

### Bước 3: Tính cả biểu thức

Cuối cùng, chúng ta có:
\[
(6 : \frac{3}{5} - 1 \frac{1}{6} \times \frac{6}{7}) : (4 \frac{1}{5} \times \frac{10}{11} + 5 \frac{2}{11}) = 9 : 9 = 1
\]

### Kết quả cuối cùng
\[
\boxed{1}
\]