Chúng ta cần giải phương trình:

\[ x^3 + 8 (x + 2)(x + 7) = 0 \]

Đầu tiên, ta sẽ tính giá trị của \(8 (x + 2)(x + 7)\):

\[
(x + 2)(x + 7) = x^2 + 7x + 2x + 14 = x^2 + 9x + 14
\]
Vậy:
\[
8(x + 2)(x + 7) = 8(x^2 + 9x + 14) = 8x^2 + 72x + 112
\]

Thay vào phương trình:

\[
x^3 + 8x^2 + 72x + 112 = 0
\]

Giờ ta sẽ chuyển tất cả các hạng tử về một phía của phương trình:

\[
x^3 + 8x^2 + 72x + 112 = 0
\]

Để tìm nghiệm của phương trình bậc ba, ta sẽ sử dụng phương pháp thử nghiệm nghiệm. Ta thử \(x = -2\):

\[
(-2)^3 + 8(-2)^2 + 72(-2) + 112 = -8 + 8 \cdot 4 - 144 + 112 = -8 + 32 - 144 + 112 = -8 + 32 - 32 = 0
\]

Vậy \(x = -2\) là một nghiệm của phương trình.

Tiếp theo, ta sẽ thực hiện phân tích phương trình bậc 3 này bằng cách chia đa thức cho \(x + 2\):

Áp dụng phép chia đa thức:

1. \( x^3 : x = x^2\)
2. Nhân \(x^2\) với \(x + 2\) và trừ:
\( (x^3 + 2x^2)\)
cho:
\( x^3 + 8x^2 \)
được:
\(-6x^2 + 72x + 112\)
3. Tiếp theo:
\(-6x^2 : x = -6x \)
4. Nhân \(-6x\) với \(x + 2\) và trừ:
\( (-6x^2 - 12x)\)
cho:
\(-6x^2 + 72x \)
được:
\(84x + 112\)
5. Cuối cùng:
\(84x : x = 84\)
6. Nhân \(84\) với \(x + 2\) và trừ:
\( (84x + 168)\)
cho:
\(84x + 112 \)
được:
\(-56\)

Vậy ta có:

\[
x^3 + 8x^2 + 72x + 112 = (x + 2)(x^2 - 6x + 56)
\]

Bây giờ ta cần giải phương trình \(x^2 - 6x + 56 = 0\). Ta sử dụng công thức tìm nghiệm của phương trình bậc hai:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
Với \(a = 1\), \(b = -6\), \(c = 56\):

Tính delta \(\Delta = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 56 = 36 - 224 = -188\)

Vì \(\Delta < 0\), nên phương trình này không có nghiệm thực.

Vậy nghiệm của phương trình ban đầu chỉ có:

\[
\boxed{-2}
\]