Để giải bài toán này, chúng ta sẽ xử lý từng phần một.

### a) Tính \( AH \) và số đo góc \( C \)

1. **Tính \( AH \):**

Trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \), ta có:
\[
AB^2 + AH^2 = AC^2
\]
Thay các giá trị:
\[
4^2 + AH^2 = (4\sqrt{3})^2
\]
Tính toán:
\[
16 + AH^2 = 48
\]
=>
\[
AH^2 = 48 - 16 = 32
\]
=>
\[
AH = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \text{ cm}
\]

2. **Tính số đo góc \( C \):**

Theo định lý sin trong tam giác vuông, có:
\[
\tan(C) = \frac{AH}{AB} = \frac{4\sqrt{2}}{4} = \sqrt{2}
\]
=>
\[
C = 45^\circ.
\]

### b) Chứng minh \( \triangle BHK \sim \triangle BGC \) và tính \( \sin BGA \cdot \cos ABC = \frac{HK}{GC} \)

1. **Chứng minh \( \triangle BHK \sim \triangle BGC \):**

- \( BH \) và \( BG \) đều là chiều cao từ \( B \) xuống \( AC \).
- Tam giác \( BHK \) và \( BGC \) có cạnh chung là \( BG \).
- Góc \( BHK \) và góc \( BGC \) đều vuông, nên:
\[
\triangle BHK \sim \triangle BGC
\]

2. **Tính \( \sin BGA \cdot \cos ABC \):**

Theo định lý sin, ta có:
\[
\sin BGA = \frac{HK}{BG}
\]
Và \( \cos ABC = \frac{GC}{AC} \).

Kết luận:

- \( AH = 4\sqrt{2} \) cm.
- \( C = 45^\circ \).
- \( \triangle BHK \sim \triangle BGC \) và \( \sin BGA \cdot \cos ABC = \frac{HK}{GC} \).

Hy vọng bạn hiểu rõ các bước!