Để chứng minh rằng \( MA = MC \), ta sẽ sử dụng tính chất của tia phân giác và một số định lý trong hình học. Dưới đây là cách giải chi tiết:

**Bước 1: Vẽ hình**
Vẽ tam giác \( ABC \) với \( AB = AC = 5 \) cm. Chọn điểm \( M \) trên tia phân giác của góc \( ABC \) sao cho \( BM = 10 \) cm.

**Bước 2: Sử dụng tính chất của tia phân giác**
Theo định lý tia phân giác, nếu có một tia phân giác \( BD \) chia góc \( ABC \) thành hai góc bằng nhau, và \( D \) là một điểm trên cạnh \( AC \), thì:

\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]

Với \( M \) là điểm trên tia phân giác của \( \angle ABC \), ta có:

\[
\frac{AB}{AM} = \frac{BC}{CM}
\]

**Bước 3: Áp dụng định lý Cosine**
Trong tam giác \( BMC \):
- \( BM = 10 \) cm
- \( BC = 5 \) cm
- Sử dụng định lý Cosine cho tam giác \( BMC \):

\[
MC^2 = BM^2 + BC^2 - 2 \cdot BM \cdot BC \cdot \cos(\angle BMC)
\]

Vì \( M \) nằm trên tia phân giác, nên \( \angle ABM = \angle CBM \). Do đó, \( \cos(\angle BMC) \) sẽ bằng \( \cos(\angle ABC) \), bởi \( \angle ABC \) là góc đối diện với cạnh \( AC \).

**Bước 4: Chứng minh**
Ta có \( BM = 10 \) và \( BC = 5 \). Thay vào công thức:

\[
MC^2 = 10^2 + 5^2 - 2 \cdot 10 \cdot 5 \cdot \cos(\angle ABC)
\]

Biểu thức tương tự cho \( MA \):

\[
MA^2 = 10^2 + 5^2 - 2 \cdot 10 \cdot 5 \cdot \cos(\angle ABC)
\]

Do đó, ta có:

\[
MA^2 = MC^2
\]

Suy ra:

\[
MA = MC
\]

**Kết luận**
Dựa vào các bước ở trên, ta đã chứng minh được rằng \( MA = MC \). Tia phân giác của góc \( ABC \) tạo thành hai đoạn thẳng \( MA \) và \( MC \) bằng nhau.