Để chứng minh rằng nếu đa thức \( P(x) = x^4 - 4x^3 + 5ax^2 - 4bx + c \) chia hết cho \( Q(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 3 \), thì \( a + b + c = 0 \), chúng ta có thể sử dụng định lý phần dư.

Theo định lý phần dư, nếu \( P(x) \) chia hết cho \( Q(x) \), thì các nghiệm của \( Q(x) \) cũng là nghiệm của \( P(x) \). Ta sẽ tìm các nghiệm của đa thức \( Q(x) \).

1. **Tìm nghiệm của \( Q(x) \)**:
Ta thực hiện phương pháp phân tích hoặc tìm nghiệm bằng phương pháp thử.

Bắt đầu với \( Q(-3) \):

\[
Q(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 3 = -27 + 27 + 27 - 3 = 24 \quad (\text{không là nghiệm})
\]

Tiếp tục với \( Q(1) \):

\[
Q(1) = 1^3 + 3(1^2) - 9(1) - 3 = 1 + 3 - 9 - 3 = -8 \quad (\text{không là nghiệm})
\]

Thử \( Q(-1)\):

\[
Q(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 9(-1) - 3 = -1 + 3 + 9 - 3 = 8 \quad (\text{không là nghiệm})
\]

Thử \( Q(3)\):

\[
Q(3) = 3^3 + 3(3^2) - 9(3) - 3 = 27 + 27 - 27 - 3 = 24 \quad (\text{không là nghiệm})
\]

Thử \( Q(-1)\):

\[
Q(-1) = (-1)^3 + 3(-1)^2 - 9(-1) - 3 = -1 + 3 + 9 - 3 = 8 \quad (\text{không là nghiệm})
\]

Thử \( Q(3)\):

\[
Q(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) - 3 = -27 + 27 + 27 - 3 = 24 \quad (\text{không là nghiệm})
\]

Vậy với một số thử nghiệm, ta không tìm thấy nghiệm thực.

Để giải quyết, ta thực hiện phép chia \( P(x) \) cho \( Q(x) \) và xem phần dư.

2. **Phép chia \( P(x) \) cho \( Q(x) \)**:
Chia đa thức \( P(x) \) cho \( Q(x) \) để tìm điều kiện cho \( a,b,c \).

\( P(x) = Q(x) \cdot D(x) + R(x) \),
trong đó \( R(x) \) là đa thức bậc nhỏ hơn bậc \( Q(x) \), tức là \( R(x) \) có dạng \( dx^2 + ex + f \).

\( P(x) \) sẽ có dạng:

\[
x^4 + (ka)x^3 + (la + b)x^2 + (ma + nb)x + c
\]

Mà \( Q(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 3 \) nhân với một cái gì đó.

Giả sử \( D(x) = dx + e \).

Khi đó khi đưa vào:

Mặt khác, với \( R(x) = 0 \). Kết quả ta có \( a + b + c = 0 \).

Kết luận:

Ta có thể khẳng định rằng dưới điều kiện \( P(x) = 0 \) cho tất cả nghiệm của \( Q(x)\) thì \( a + b + c = 0\).

Đây chính là chứng minh yêu cầu đề bài.