Để tìm số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của hàm số \( y = \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x^2 + x} \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

### Tiệm cận đứng
1. **Xác định điểm không xác định:** Tiệm cận đứng xảy ra tại các giá trị của \( x \) làm cho mẫu số bằng 0 (trong trường hợp hàm số không xác định).
- Mẫu số là \( x^2 + x = 0 \)
- Giải phương trình: \( x(x + 1) = 0 \) \(\Rightarrow x = 0\) và \( x = -1\)

=> Có 2 tiệm cận đứng tại \( x = 0 \) và \( x = -1 \).

### Tiệm cận ngang
2. **Xác định tiệm cận ngang:** Tiệm cận ngang thường được xác định khi \( x \to \infty \) hoặc \( x \to -\infty \).
- \( y = \frac{\sqrt{x+4} - 2}{x^2 + x} \)

Xét giới hạn khi \( x \to \infty\):
\[
y = \frac{\sqrt{x(1 + \frac{4}{x})} - 2}{x^2(1 + \frac{1}{x})} = \frac{\sqrt{x} \sqrt{1 + \frac{4}{x}} - 2}{x^2}
\]

Khi \( x \to \infty \):
- \( \sqrt{1 + \frac{4}{x}} \to 1 \)
- Thế vào giới hạn:
\[
\Rightarrow y \to \frac{\sqrt{x} - 2}{x^2} \to 0
\]

=> Có 1 tiệm cận ngang \( y = 0 \).

### Kết luận
Tổng số tiệm cận đứng và tiệm cận ngang là \( 2 (tiệm cận đứng) + 1 (tiệm cận ngang) = 3 \).

Vậy đáp án là **D. 3**.