Để giải bài toán này về tam giác DEF vuông tại D với đường cao DI = 6 cm và IF = 8 cm, ta thực hiện từng yêu cầu như sau:

a. **Tính độ dài DE, DF:**
- Ta có thể sử dụng định lý Pythagore vì tam giác DEF vuông tại D:
\[
DE = \sqrt{DI^2 + DF^2}
\]
Ta sẽ tính DE và DF sau khi có thêm thông tin về độ dài của DF hoặc DE.

b. **Tính số đo ∠Ê và ∠F:**
- Tính số đo góc sẽ sử dụng công thức:
\[
\tan \angle Ê = \frac{DI}{DF} \quad \text{và} \quad \tan \angle F = \frac{DI}{DE}
\]
Sau khi có độ dài DF và DE, ta sẽ tính số đo góc.

c. **Kẻ IK ⊥ DF (K ∈ DF). Tính độ dài IK và diện tích tam giác DIK.**
- K có thể là điểm giữa DF (hoặc điểm nào đó trên DF) và:
\[
IK \text{ sẽ được tính từ } \tan \angle KID = \frac{DI}{IK}
\]
Diện tích tam giác DIK sẽ là:
\[
S_{DIK} = \frac{1}{2} \cdot DI \cdot IK
\]

d. **Kẻ tia phân giác EM của góc DEF (M ∈ DF). Tính DM?**
- Ta có thể sử dụng định lý tia phân giác để tính DM theo những yêu cầu đã có.

e. **Chứng minh rằng: \( \tan \angle DEM = \frac{DF}{DE + EF} \)**
- Đây là phần chứng minh cần sử dụng định lý liên quan đến góc và cạnh trong tam giác.

Để có chính xác các giá trị, cần tính thêm với các công thức cụ thể từ thông tin đã cho. Nếu cần thêm thông tin hay chỉ cụ thể hơn mỗi phần, hãy cho biết!