Chúng ta có mặt phẳng \((\alpha)\) và đường thẳng \(MN\) cắt mặt phẳng tại điểm \(I\). Theo thông tin đã cho, ta có:

\[
4 \overrightarrow{IN} = 3 \overrightarrow{IM}
\]

Từ biểu thức trên, ta có thể dự đoán rằng:
\[
\overrightarrow{IN} = \frac{3}{4} \overrightarrow{IM}
\]

Điều này có nghĩa là vector từ điểm \(I\) đến điểm \(N\) có độ dài là \(\frac{3}{4}\) độ dài của vector từ điểm \(I\) đến điểm \(M\). Gọi:
- \(d_1 = d(M, (\alpha))\): khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((\alpha)\)
- \(d_2 = d(N, (\alpha))\): khoảng cách từ điểm \(N\) đến mặt phẳng \((\alpha)\)

Do \(d(M, (\alpha))\) và \(d(N, (\alpha))\) là khoảng cách vuông góc từ các điểm \(M\) và \(N\) đến mặt phẳng, chúng cũng tương ứng với độ dài của các vector \(\overrightarrow{IM}\) và \(\overrightarrow{IN}\) nhưng có hướng khác nhau.

Sau đó, từ tỉ lệ của các vector đã cho:
\[
\frac{d_2}{d_1} = \frac{\|\overrightarrow{IN}\|}{\|\overrightarrow{IM}\|} = \frac{3/4 \|\overrightarrow{IM}\|}{\|\overrightarrow{IM}\|} = \frac{3}{4}
\]

Vậy tỉ số giữa khoảng cách từ \(M\) và \(N\) đến mặt phẳng là:
\[
\frac{d_1}{d_2} = \frac{d_1}{\left(\frac{3}{4}d_1\right)} = \frac{d_1 \cdot 4}{3 d_1} = \frac{4}{3}
\]

Vậy tỉ số \(d_1/d_2\) là:
\[
\frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{3}
\]

Tổng kết, kết quả cuối cùng là \( \frac{d_1}{d_2} = \frac{4}{3} \).