Để giải bài toán này, chúng ta cần tính toán khoảng cách mà vật nhỏ di chuyển trước khi tốc độ đạt cực đại và sau đó bắt đầu giảm dần do ma sát.

1. **Xác định năng lượng ban đầu**: Khi lò xo bị nén, năng lượng tiềm năng của lò xo được tính bằng công thức:

\[
E_{p} = \frac{1}{2} k x^2
\]

Trong đó:
- \( k = 20 \, \text{N/m} \) là độ cứng của lò xo,
- \( x = 0.05 \, \text{m} \) (5 cm) là độ nén của lò xo.

Tính toán:

\[
E_{p} = \frac{1}{2} \times 20 \times (0.05)^2 = \frac{1}{2} \times 20 \times 0.0025 = 0.025 \, \text{J}
\]

2. **Tính lực ma sát**: Lực ma sát tĩnh sẽ tác động lên vật nhỏ khi nó bắt đầu chuyển động. Lực ma sát \( F_{m} \) được tính theo công thức:

\[
F_{m} = \mu \cdot N
\]

Trong đó:
- \( \mu = 0.1 \) là hệ số ma sát,
- \( N \) là lực bình thường, với \( N = mg \) trong trường hợp này (m = khối lượng của vật, g = gia tốc trọng trường, khoảng 9.81 m/s²).

Tính toán:

\[
N = m \cdot g = 0.2 \cdot 9.81 \approx 1.962 \, \text{N}
\]

Do đó:

\[
F_{m} = 0.1 \times 1.962 \approx 0.1962 \, \text{N}
\]

3. **Tính lực và gia tốc**: Khi lò xo trở về vị trí cân bằng, nó sẽ tác dụng một lực lên vật nhỏ. Lực này sẽ lớn hơn lực ma sát cho đến khi vật nhỏ đạt được tốc độ lớn nhất của nó. Sử dụng định luật Newton:

\[
F_{net} = F_{x} - F_{m}
\]

Trong đó \( F_{x} = kx \) là lực do lò xo tác dụng.

Tại điểm vật nhỏ đạt tốc độ lớn nhất, này xảy ra khi:

\[
kx_{max} = F_{m}
\]

**Tìm x_max**:

\[
20 x_{max} = 0.1962
\]

Giải phương trình:

\[
x_{max} = \frac{0.1962}{20} \approx 0.00981 \, \text{m} \approx 9.81 \, \text{cm}
\]

4. **Quá trình tắt dần**: Sau khi đạt tốc độ lớn nhất, tốc độ sẽ giảm do lực ma sát. Vật sẽ đi quãng đường \( d \) cho đến khi dừng lại hoàn toàn. Để biết quãng đường này, chúng ta có thể sử dụng định luật bảo toàn năng lượng:

Năng lượng ban đầu \( E_p \) sẽ được chuyển thành công của lực ma sát.

\[
E_p = F_{m} \cdot d
\]

Thay các giá trị vào phương trình và tính toán:

\[
0.025 = 0.1962 \cdot d
\]

Giải phương trình:

\[
d = \frac{0.025}{0.1962} \approx 0.127 \, \text{m} \approx 12.7 \, \text{cm}
\]

**Kết luận**: Vật nhỏ đạt tốc độ lớn nhất sau khi đi được quãng đường khoảng 9.81 cm, và tiếp theo sẽ di chuyển thêm khoảng 12.7 cm trước khi dừng lại hoàn toàn.