Để giải phương trình \( 2|x - 3| - |4x - 1| = 0 \), ta có thể viết lại thành:

\[
2|x - 3| = |4x - 1|
\]

Tiến hành phân tích các trường hợp cho các biểu thức giá trị tuyệt đối.

### Trường hợp 1: \( x - 3 \geq 0 \) và \( 4x - 1 \geq 0 \) (tức là \( x \geq 3 \) và \( x \geq \frac{1}{4} \))

Khi đó, ta có:
\[
2(x - 3) = 4x - 1
\]
Giải phương trình:
\[
2x - 6 = 4x - 1 \\
-6 + 1 = 4x - 2x \\
-5 = 2x \\
x = -\frac{5}{2} \quad (\text{Ngoài khoảng } [3, +\infty))
\]

### Trường hợp 2: \( x - 3 \geq 0 \) và \( 4x - 1 < 0 \) (tức là \( x \geq 3 \) và \( x < \frac{1}{4} \))

Trường hợp này không tồn tại vì không có giá trị nào thoả mãn.

### Trường hợp 3: \( x - 3 < 0 \) và \( 4x - 1 \geq 0 \) (tức là \( x < 3 \) và \( x \geq \frac{1}{4} \))

Khi đó, ta có:
\[
2(3 - x) = 4x - 1
\]
Giải phương trình:
\[
6 - 2x = 4x - 1 \\
6 + 1 = 4x + 2x \\
7 = 6x \\
x = \frac{7}{6} \quad (\text{Trong khoảng } \left[\frac{1}{4}, 3\right))
\]

### Trường hợp 4: \( x - 3 < 0 \) và \( 4x - 1 < 0 \) (tức là \( x < 3 \) và \( x < \frac{1}{4} \))

Khi đó, ta có:
\[
2(3 - x) = - (4x - 1)
\]
Giải phương trình:
\[
6 - 2x = -4x + 1 \\
6 - 1 = -4x + 2x \\
5 = -2x \\
x = -\frac{5}{2} \quad (\text{Ngoài khoảng } (-\infty, \frac{1}{4}))
\]

### Kết luận

Giải nghiệm các trường hợp, ta tìm được nghiệm:
\[
x = \frac{7}{6}
\]

Vậy giá trị của \( x \) là \( \frac{7}{6} \).