Để giải phương trình \((x + 3)(y + 4) = 3xy\), ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Phát triển vế trái của phương trình:
\[
xy + 4x + 3y + 12 = 3xy
\]

2. Chuyển hết các hạng tử về một bên để biến đổi phương trình:
\[
0 = 3xy - xy - 4x - 3y - 12
\]
hay
\[
2xy - 4x - 3y - 12 = 0
\]

3. Sắp xếp lại:
\[
2xy - 4x - 3y = 12
\]

4. Sắp xếp theo dạng \(y\):
\[
y(2x - 3) = 4x + 12
\]
hay
\[
y = \frac{4x + 12}{2x - 3}
\]

5. Để \(y\) là số nguyên, mẫu \(2x - 3\) phải chia hết cho \(4x + 12\).

6. Ta tìm điều kiện cho \(2x - 3\) không bằng 0:
- Khi \(2x - 3 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}\) (không phải số nguyên)

7. Phân tích:
\[
4x + 12 = k(2x - 3) \quad (k \text{ là số nguyên})
\]

8. Giải ra:
\[
4x + 12 = 2kx - 3k
\]
hay
\[
(4 - 2k)x = -3k - 12
\]

9. Từ đó ta có:
- Nếu \(4 - 2k \neq 0\), thì \(x = \frac{-3k - 12}{4 - 2k}\) và \(y\) được tính từ \(x\).

10. Mỗi giá trị nguyên của \(k\) có thể cho một giá trị tương ứng của \(x\).

Sau khi giải bài toán này cho giá trị của \(k\), ta cần phải kiểm tra xem các giá trị của \(x\) và \(y\) cho ra số nguyên hay không. Kiểm tra điều kiện sẽ giúp xác định số nghiệm nguyên của phương trình.

Cuối cùng, cách tổng quát để xử lý phương trình này là xác định các giá trị mà \(4x + 12\) có thể chia hết cho \(2x - 3\) sau khi tìm các giá trị nguyên thỏa mãn.

Kết quả cuối cùng là tìm ra tất cả các giá trị của \(k\) để xác định nghiệm nguyên của phương trình.

***Thống kê một cách cẩn thận, bạn sẽ tìm được số nghiệm.***