Để xác định số nghiệm của hệ phương trình đã cho, ta có thể giải từng phương trình theo \(x\) và \(y\).

Hệ phương trình là:

\[
\begin{cases}
x + \frac{1}{x} + y + \frac{1}{y} = \frac{9}{2} \quad (1)\\
xy + \frac{1}{xy} = \frac{5}{2} \quad (2)
\end{cases}
\]

### Bước 1: Xét phương trình (1)

Đặt \(X = x + y\) và \(Y = \frac{1}{x} + \frac{1}{y}\).
Ta có:

\[
Y = \frac{y + x}{xy} = \frac{X}{xy}
\]

Từ đó, phương trình (1) có thể viết lại là:

\[
X + \frac{X}{xy} = \frac{9}{2}
\]

### Bước 2: Xét phương trình (2)

Từ phương trình (2), ta có:

\[
xy + \frac{1}{xy} = \frac{5}{2}
\]

Đặt \( Z = xy \), phương trình trở thành:

\[
Z + \frac{1}{Z} = \frac{5}{2}
\]

### Bước 3: Giải phương trình đối với \(Z\)

Giải nên phương trình: \(Z^2 - \frac{5}{2}Z + 1 = 0\).

### Bước 4: Tính số nghiệm

Số nghiệm của phương trình bậc hai phụ thuộc vào discriminant:

\[
D = \left( \frac{5}{2} \right)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = \frac{25}{4} - 4 = \frac{25}{4} - \frac{16}{4} = \frac{9}{4} > 0
\]

Vậy phương trình có 2 nghiệm.

### Bước 5: Kiểm tra lại với các phương trình

Mỗi giá trị của \(Z\) cho phép tính giá trị của \(X = x + y\) và từ đó đưa về hệ phương trình. Phương trình đầu tiên cho phép 2 giá trị cho \(X\) và phụ thuộc vào \(y\).

### Kết luận

Sau khi giải xong, ta có thể kết luận rằng hệ phương trình có tổng cộng 4 nghiệm khác nhau cho \( (x, y) \).

**Hệ phương trình có 4 nghiệm.**