Để rút gọn biểu thức \( B \):

\[
B = \frac{\sin(a-b)}{\cos a \cos b} + \frac{\sin(b-c)}{\cos b \cos c} + \frac{\sin(c-a)}{\cos c \cos a}
\]

1. **Sử dụng công thức lượng giác**: Áp dụng công thức \(\sin(A - B) = \sin A \cos B - \cos A \sin B\) cho từng phần của biểu thức.

2. **Biến đổi từng phân số**:
- \(\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b\)
- \(\sin(b-c) = \sin b \cos c - \cos b \sin c\)
- \(\sin(c-a) = \sin c \cos a - \cos c \sin a\)

Chèn từng kết quả vào biểu thức \( B \):

\[
B = \frac{\sin a \cos b - \cos a \sin b}{\cos a \cos b} + \frac{\sin b \cos c - \cos b \sin c}{\cos b \cos c} + \frac{\sin c \cos a - \cos c \sin a}{\cos c \cos a}
\]

3. **Rút gọn từng phân số**:
- Phân số đầu tiên: \(\frac{\sin a \cos b}{\cos a \cos b} - \frac{\cos a \sin b}{\cos a \cos b} = \tan a - \frac{\sin b}{\cos b} \cdot \frac{\cos a}{\cos b}\)
- Phân số thứ hai: \(\frac{\sin b \cos c}{\cos b \cos c} - \frac{\cos b \sin c}{\cos b \cos c} = \tan b - \frac{\sin c}{\cos c} \cdot \frac{\cos b}{\cos c}\)
- Phân số thứ ba: \(\frac{\sin c \cos a}{\cos c \cos a} - \frac{\cos c \sin a}{\cos c \cos a} = \tan c - \frac{\sin a}{\cos a} \cdot \frac{\cos c}{\cos a}\)

4. **Kết quả cuối cùng**:
- Kết hợp và rút gọn tổng thể \( B \):

\[
B = \tan a + \tan b + \tan c - (\tan b + \tan c + \tan c + \tan a)
\]

Cuối cùng, sau khi thực hiện rút gọn cẩn thận, ta có kết quả biểu thức \( B \) được rút gọn sẽ là một tổng các hàm tang.