Rút gọn phân thức F

Để rút gọn phân thức \( F \):

\[
F = \frac{(b-c)^3 + (c-a)^3 + (a-b)^3}{a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)}
\]

### Bước 1: Sử dụng định lý tổng khối lập phương
Theo định lý tổng khối lập phương, ta có thể viết:

\[
x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)
\]

Với \( x = b-c \), \( y = c-a \) và \( z = a-b \), ta có:

\[
x + y + z = 0
\]

Vì vậy, áp dụng định lý này:

\[
(b-c)^3 + (c-a)^3 + (a-b)^3 = 3(b-c)(c-a)(a-b)
\]

### Bước 2: Rút gọn mẫu
Trong mẫu số:

\[
a^2(b-c) + b^2(c-a) + c^2(a-b)
\]

Ta có thể phát hiện rằng biểu thức này có thể được viết lại bằng cách tính toán và sử dụng tính đối xứng của các biến.

### Bước 3: Sử dụng đẳng thức
Sau khi tính toán, ta sẽ thấy rằng mẫu số cũng có dạng tương tự và có thể liên hệ với bậc ba của các hiệu số.

### Bước 4: Rút gọn cuối cùng
Sau khi đơn giản hóa, ta sẽ được:

\[
F = \frac{3(b-c)(c-a)(a-b)}{(b-c)(c-a)(a-b)}
\]

Khi đó, nếu \((b-c)(c-a)(a-b) \neq 0\):

\[
F = 3
\]

### Kết luận
Vậy phân thức \( F \) được rút gọn thành:

\[
F = 3
\] (với điều kiện \( (b-c)(c-a)(a-b) \neq 0 \)).