Để tính tổng sau:

\[
T = \frac{2}{1 \times 3} + \frac{2}{3 \times 5} + \frac{2}{5 \times 7} + \ldots + \frac{2}{2019 \times 2021} + \frac{2}{2021 \times 2023}
\]

Ta phân tích từng phần tử. Tổng quát, phần tử thứ \(n\) có dạng:

\[
\frac{2}{(2n-1)(2n+1)} = \frac{2}{4n^2 - 1} = \frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}
\]

Vậy, tổng sẽ trở thành:

\[
T = \sum_{n=1}^{1011} \left(\frac{1}{2n - 1} - \frac{1}{2n + 1}\right)
\]

Chúng ta có thể nhận thấy đây là một chuỗi hình thang, một số hạng sẽ triệt tiêu với số hạng tiếp theo:

\[
T = \left( \frac{1}{1} - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \left( \frac{1}{5} - \frac{1}{7} \right) + \ldots + \left( \frac{1}{2019} - \frac{1}{2021} \right)
\]

Kết quả cuối cùng sau khi triệt tiêu sẽ là:

\[
T = 1 - \frac{1}{2023}
\]

Vậy, tổng \(T\) sẽ là:

\[
T = 1 - \frac{1}{2023} = \frac{2023 - 1}{2023} = \frac{2022}{2023}
\]

Do đó, kết quả cuối cùng là:

\[
\boxed{\frac{2022}{2023}}
\]