Để tìm \( a \) sao cho biểu thức \( a^2 + 10a \) là số nguyên tố, trước tiên ta có thể biến đổi biểu thức này:

\[
a^2 + 10a = a(a + 10)
\]

Số nguyên tố là một số lớn hơn 1 và chỉ chia hết cho 1 và chính nó. Do đó, để \( a(a + 10) \) là số nguyên tố, một trong hai số \( a \) hoặc \( a + 10 \) cần phải bằng 1, vì nếu cả hai đều lớn hơn 1 thì tích của chúng sẽ lớn hơn 1 và không thể là số nguyên tố.

### Trường hợp 1: \( a = 1 \)

Nếu \( a = 1 \):
\[
1(1 + 10) = 1 \times 11 = 11
\]
Số 11 là số nguyên tố.

### Trường hợp 2: \( a + 10 = 1 \)

Nếu \( a + 10 = 1 \):
\[
a = 1 - 10 = -9
\]
Tính giá trị khi \( a = -9 \):
\[
a(-9 + 10) = -9 \times 1 = -9
\]
Số -9 không phải là số nguyên tố.

### Kết luận

Duy nhất giá trị \( a = 1 \) làm cho \( a^2 + 10a \) là số nguyên tố. Do đó, câu trả lời là:

\[
a = 1
\]