Để tìm giá trị của \( x \) trong các bài toán đã cho, ta lần lượt giải từng phương trình:

1. **Phương trình 3:**
\[
\frac{3}{7} + \frac{1}{7}x = \frac{3}{14}
\]

Đầu tiên, ta đưa các số hạng về cùng mẫu:
\[
\frac{3 + x}{7} = \frac{3}{14}
\]
Nhân cả hai vế với 14 để loại mẫu:
\[
2(3 + x) = 3
\]
Giải phương trình:
\[
6 + 2x = 3 \implies 2x = 3 - 6 \implies 2x = -3 \implies x = -\frac{3}{2}
\]

2. **Phương trình 6:**
\[
\left( \frac{2}{5} - 3x \right) \div \left( -\frac{1}{5} \right) = \frac{4}{25}
\]

Thay đổi phép chia bằng cách nhân với số đối của mẫu:
\[
\left( \frac{2}{5} - 3x \right) \cdot (-5) = \frac{4}{25}
\]
Giải phương trình:
\[
-5 \cdot \frac{2}{5} + 15x = \frac{4}{25}
\implies -2 + 15x = \frac{4}{25}
\]
Quy đồng mẫu để giải cho \( x \):
\[
15x = \frac{4}{25} + 2 = \frac{4 + 50}{25} = \frac{54}{25} \implies x = \frac{54}{375} = \frac{18}{125}
\]

3. **Phương trình 9:**
\[
\frac{1}{2} + \frac{2}{3} = \frac{1}{3} + \frac{x}{4}
\]

Đưa các số hạng về cùng mẫu:
\[
\frac{3}{6} + \frac{4}{6} = \frac{2}{6} + \frac{x}{4} \implies \frac{7}{6} = \frac{2}{6} + \frac{x}{4}
\]
Giải cho \( x \):
\[
\frac{7}{6} - \frac{2}{6} = \frac{x}{4} \implies \frac{5}{6} = \frac{x}{4} \implies 5 \cdot 4 = 6x \implies x = \frac{20}{6} = \frac{10}{3}
\]

**Kết luận:**
- \( x = -\frac{3}{2} \) cho phương trình 3.
- \( x = \frac{18}{125} \) cho phương trình 6.
- \( x = \frac{10}{3} \) cho phương trình 9.