Tìm giá trị nhỏ nhất biểu thức

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

\[
A = \frac{-5x^2 - 7x + 8}{3x - 2}
\]

trước tiên, chúng ta cần điều kiện xác định của biểu thức, tức là **mẫu số** không được bằng 0:

\[
3x - 2 \neq 0 \implies x \neq \frac{2}{3}
\]

Tiếp theo, để nghiên cứu dấu hiệu của biểu thức, ta có thể phân tích tử bằng cách xét phương trình bậc hai:

\[
-5x^2 - 7x + 8 = 0
\]

Sử dụng công thức nghiệm:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4 \cdot (-5) \cdot 8}}{2 \cdot (-5)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 + 160}}{-10} = \frac{7 \pm \sqrt{209}}{-10}
\]

Sau khi tính toán, chúng ta sẽ tìm ra các nghiệm mà từ đó có thể xác định được các khoảng biến thiên của hàm số. Về dấu của A, ta có thể phân tích qua các khoảng:

1. **Với x < 2/3**
2. **Tại x = 2/3**, mẫu sẽ bằng 0, nên không xác định.
3. **Với x > 2/3**

Cuối cùng, để tìm giá trị nhỏ nhất của A, ta có thể sử dụng phương pháp tính đạo hàm hoặc cụ thể là tính giá trị biểu thức tại các giá trị x khác nhau và so sánh.

Tóm lại, quy trình sẽ gồm:
- Tính đạo hàm A và tìm các điểm cực trị.
- Xét giá trị của A trong các khoảng đã được phân tích.

Nếu cần, bạn có thể cung cấp thêm thông tin hoặc yêu cầu cụ thể để tiếp tục giải quyết bài toán này!