Giải phương trình trên tập số nguyên 3x^2 + 2y = 3xy + 15

Để giải phương trình \( 3x^2 + 2y = 3xy + 15 \) trên tập số nguyên, chúng ta có thể biến đổi phương trình như sau:

1. Đưa tất cả các hạng tử về một bên:

\[
3x^2 - 3xy + 2y - 15 = 0
\]

2. Phương trình có dạng bậc hai đối với \( y \):

\[
3x^2 - 3xy + (2y - 15) = 0
\]

3. Để phương trình này có nghiệm nguyên theo \( y \), chúng ta xét điều kiện về denta của phương trình bậc hai trong \( y \):

Công thức bậc hai có dạng \( ay^2 + by + c = 0 \) với \( a = -3x + 2, b = -3x, c = 3x^2 - 15 \).

4. Tính denta:

\[
D = b^2 - 4ac = (-3x)^2 - 4(2 - 3x)(3x^2 - 15)
\]
\[
= 9x^2 - 4(-3x + 2)(3x^2 - 15)
\]
\[
= 9x^2 - 4[-9x^3 + 45x + 6x^2 - 30]
\]
\[
= 9x^2 + 36x^3 - 180x + 24
\]
\[
= 36x^3 + 33x^2 - 180x + 24
\]

5. Để phương trình có nghiệm nguyên, denta phải là một số chính phương. Bây giờ chúng ta xét các giá trị nguyên cho \( x \) và sau đó tính tương ứng giá trị của \( y \).

6. Ta thử các giá trị của \( x \):

- Với \( x = 0 \):
\[
3 \cdot 0^2 + 2y = 3 \cdot 0 \cdot y + 15 \Rightarrow 2y = 15 \Rightarrow y = 7.5 \quad (không thỏa mãn)
\]

- Với \( x = 1 \):
\[
3 \cdot 1^2 + 2y = 3 \cdot 1 \cdot y + 15 \Rightarrow 3 + 2y = 3y + 15 \Rightarrow y = -12
\]

- Với \( x = 2 \):
\[
3 \cdot 2^2 + 2y = 3 \cdot 2 \cdot y + 15 \Rightarrow 12 + 2y = 6y + 15 \Rightarrow 4y = -3 \Rightarrow y = -\frac{3}{4} \quad (không thỏa mãn)
\]

- Với \( x = 3 \):
\[
3 \cdot 3^2 + 2y = 3 \cdot 3 \cdot y + 15 \Rightarrow 27 + 2y = 9y + 15 \Rightarrow 6y = 12 \Rightarrow y = 2
\]

- Với \( x = 4 \):
\[
3 \cdot 4^2 + 2y = 3 \cdot 4 \cdot y + 15 \Rightarrow 48 + 2y = 12y + 15 \Rightarrow 10y = 33 \Rightarrow y = 3.3 \quad (không thỏa mãn)
\]

- Với \( x = 5 \):
\[
3 \cdot 5^2 + 2y = 3 \cdot 5 \cdot y + 15 \Rightarrow 75 + 2y = 15y + 15 \Rightarrow 13y = 60 \Rightarrow y = \frac{60}{13} \quad (không thỏa mãn)
\]

Thử cho đến các giá trị \( x = -1, -2,... \) cũng có thể thực hiện tương tự.

Sau khi thử các giá trị nguyên cho \( x \), ta tìm ra nghiệm nguyên của phương trình là:

\[
(x, y) = (1, -12) \quad \text{và} \quad (3, 2)
\]

Kết luận, nghiệm nguyên của phương trình là:

- \( (1, -12) \)
- \( (3, 2) \)