Để giải phương trình \( |8 - 2x| + 5 = \frac{|x + 7|}{8 - 2x} + 5 \), ta thực hiện các bước như sau:

1. **Giản lược phương trình**:
Chúng ta có thể trừ 5 ở hai vế, được:
\[
|8 - 2x| = \frac{|x + 7|}{8 - 2x}
\]

2. **Xét các trường hợp khác nhau**:
Như \( |8 - 2x| \) và \( |x + 7| \) có thể nhận các giá trị khác nhau tùy thuộc vào giá trị của \( x \).

- **Trường hợp 1**: \( 8 - 2x \geq 0 \) và \( x + 7 \geq 0 \) (tức là \( x \leq 4 \) và \( x \geq -7 \)).
Lúc này, \( |8 - 2x| = 8 - 2x \) và \( |x + 7| = x + 7 \). Phương trình trở thành:
\[
8 - 2x = \frac{x + 7}{8 - 2x}
\]

- **Trường hợp 2**: \( 8 - 2x \geq 0 \) và \( x + 7 < 0 \) (tức là \( x \leq 4 \) và \( x < -7 \) không có giá trị khả thi).

- **Trường hợp 3**: \( 8 - 2x < 0 \) và \( x + 7 \geq 0 \) (tức là \( x > 4 \) và \( x \geq -7 \) không có giá trị khả thi).

- **Trường hợp 4**: \( 8 - 2x < 0 \) và \( x + 7 < 0 \) (tức là \( x > 4 \) và \( x < -7 \) không có giá trị khả thi).

3. **Giải phương trình trong trường hợp 1**:
Chúng ta tiếp tục với phương trình:
\[
8 - 2x = \frac{x + 7}{8 - 2x}
\]

Nhân chéo:
\[
(8 - 2x)(8 - 2x) = x + 7
\]
\[
(8 - 2x)^2 = x + 7
\]

Mở rộng:
\[
64 - 32x + 4x^2 = x + 7
\]
\[
4x^2 - 33x + 57 = 0
\]

Sử dụng công thức bậc hai:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{33 \pm \sqrt{(-33)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 57}}{2 \cdot 4}
\]
\[
= \frac{33 \pm \sqrt{1089 - 912}}{8} = \frac{33 \pm \sqrt{177}}{8}
\]

4. **Kiểm tra nghiệm**:
Để kiểm tra tính khả thi, xem liệu nghiệm này có thuộc khoảng xác định của trường hợp 1 hay không.

Tóm lại, \( x = \frac{33 + \sqrt{177}}{8} \) và \( x = \frac{33 - \sqrt{177}}{8} \) là các nghiệm khả thi của phương trình.

**Kết luận**: Các nghiệm của phương trình là:
\[
x = \frac{33 + \sqrt{177}}{8} \quad \text{và} \quad x = \frac{33 - \sqrt{177}}{8}
\]