Để tính biểu thức này, ta sẽ đơn giản hóa từng phần.

Biểu thức cần tính là:

\[
\sqrt{1+\sqrt{3}+\sqrt{13}+4\sqrt{3}} + \sqrt{1-\sqrt{3}-\sqrt{13}-4\sqrt{3}}
\]

### Bước 1: Xử lý phần đầu tiên

Xét

\[
\sqrt{1 + \sqrt{3} + \sqrt{13} + 4\sqrt{3}}
\]

Ta có:

\[
1 + \sqrt{3} + \sqrt{13} + 4\sqrt{3} = 1 + 5\sqrt{3} + \sqrt{13}
\]

### Bước 2: Xử lý phần thứ hai

Tương tự, xét

\[
\sqrt{1 - \sqrt{3} - \sqrt{13} - 4\sqrt{3}}
\]

Ta có:

\[
1 - \sqrt{3} - \sqrt{13} - 4\sqrt{3} = 1 - 5\sqrt{3} - \sqrt{13}
\]

### Bước 3: Tính cả biểu thức

Bây giờ, biểu thức ban đầu có dạng:

\[
\sqrt{1 + 5\sqrt{3} + \sqrt{13}} + \sqrt{1 - 5\sqrt{3} - \sqrt{13}}
\]

### Bước 4: Tính giá trị

Chúng ta sẽ không thể đơn giản hóa nó nhiều hơn mà không tính giá trị cụ thể. Các phần trong căn bậc hai có thể được đánh giá bằng cách sử dụng máy tính hoặc phần mềm tính toán.

Tuy nhiên, có thể thấy rằng phần thứ hai sẽ cho một giá trị âm bên trong căn bậc hai, vì vậy:

\[
1 - 5\sqrt{3} - \sqrt{13} < 0
\]

Do đó, \(\sqrt{1 - 5\sqrt{3} - \sqrt{13}}\) không tồn tại (không phải số thực).

### Kết luận

Biểu thức tổng thể mang giá trị không xác định trong tập số thực do có một căn bậc hai của số âm.