Để giải bài tập này, chúng ta sẽ đi từng phần một và cần vẽ hình để dễ hình dung hơn. Dưới đây là cách giải cho từng phần:

### a) Chứng minh E và F đối xứng nhau qua AB:

1. **Khảo sát hình bình hành ABCD**:
- Gọi M là điểm trên cạnh AB và N là điểm trên cạnh CD sao cho \( AM = DN \).
- Đặt \( AM = DN = x \).

2. **Đường trung trực của BM**:
- Đường trung trực của đoạn thẳng BM sẽ cắt MN tại điểm E và cắt BC tại điểm F.
- Để chứng minh E và F đối xứng qua AB, ta cần chứng minh rằng:
- EF vuông góc với AB.
- Khoảng cách từ E đến AB bằng khoảng cách từ F đến AB.

3. **Tính chất đối xứng**:
- Do AM = DN và AB // CD (tính chất hình bình hành), nên AB là đường thẳng trung bình của các cạnh, tạo thành các cặp điểm đối xứng qua AB.
- M và N có tính chất đối xứng, do đó E và F cũng sẽ có tính chất đối xứng qua AB, vì trung trực sẽ chia đoạn BM thành 2 đoạn bằng nhau và vuông góc với AB.

Kết luận: E và F đối xứng nhau qua AB.

### b) Chứng minh tứ giác MEBF là hình thoi:

1. **Xét tứ giác MEBF**:
- Ta thấy EM = MB (EM là phần chung của trung trực, do nó nằm trên đường thẳng BM).
- Ngoài ra, EF là một độ dài trục đối xứng của tứ giác này, và do E,F đối xứng qua AB, có thể khẳng định rằng MB = BF.

2. **Tính chất hình thoi**:
- Một tứ giác được gọi là hình thoi khi nó có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau.
- Ta có:
\[
ME = MB \quad \text{và} \quad EB = EF
\]
- Do đó, MEBF có 2 cặp cạnh đối diện bằng nhau, và từ đó có thể kết luận rằng MEBF là hình thoi.

### c) Hình bình hành ABCD có thêm điều kiện gì để tứ giác BCNE là hình thang cân:

1. **Điều kiện hình thang cân**:
- Tứ giác BCNE là hình thang nếu có một cặp cạnh song song.
- Để BCNE là hình thang cân (2 cạnh bên bằng nhau), thì BC và EN phải song song và bằng nhau.

2. **Điều kiện cho hình bình hành**:
- Khi BC // AD (do tính chất hình bình hành)
- Muốn BC = EN, ta cần điều kiện \( |AB| = |CD| \).

Kết luận: Để tứ giác BCNE là hình thang cân, hình bình hành ABCD phải là hình chữ nhật (điều này khi AB = AD).

### Vẽ hình minh họa:

Để họa đồ dễ dàng, các bạn có thể vẽ một hình bình hành ABCD với các điểm M và N trên các cạnh AB và CD. Đánh dấu các đường trung trực và các điểm E, F để kiểm tra tính đối xứng và diện tích tứ giác MEBF.

Hãy đảm bảo rằng các ký hiệu và cấu trúc hình học rõ ràng giúp bạn ghi nhớ và phát triển kỹ năng hình học của mình.