Cho tam giác ABC vuông tại A

Để chứng minh mệnh đề \( AB \cdot AE + AC \cdot AF = 2 EF^2 \) trong tam giác vuông \( ABC \) tại \( A \) với \( H \) là chân đường cao từ \( A \) xuống \( BC \), và \( E \) và \( F \) lần lượt thuộc \( AB \) và \( AC \), kẻ các đoạn \( HE \) và \( HF \) vuông góc với \( AB \) và \( AC \), ta sẽ sử dụng một số công thức hình học cơ bản và định lý Pythagore.

Gọi:
- \( AB = c \)
- \( AC = b \)
- \( BC = a \)
- \( AH = h \), chiều cao từ \( A \) xuống \( BC \)
- \( AE = x \), \( AF = y \)

### Dựng hình và thiết lập các liên hệ
Bởi vì \( H \) là chân đường cao, ta có \( AH \) vuông góc với \( BC \). Xét các tam giác vuông \( AHE \) và \( AHF \):

- Trong tam giác vuông \( AHE \), ta có:
\[ HE = \frac{AE \cdot AH}{AB} = \frac{x h}{c} \]

- Trong tam giác vuông \( AHF \), ta có:
\[ HF = \frac{AF \cdot AH}{AC} = \frac{y h}{b} \]

### Tính độ dài \( EF \)
Vì \( HE \) và \( HF \) vuông góc \( AB \) và \( AC \), ta có:
\[ EF^2 = HE^2 + HF^2 \]

Trong đó:
\[
HE^2 = \left( \frac{x h}{c} \right)^2
\]
\[
HF^2 = \left( \frac{y h}{b} \right)^2
\]
Khi đó ta có:
\[
EF^2 = \left( \frac{x h}{c} \right)^2 + \left( \frac{y h}{b} \right)^2
\]
\[
= h^2 \left( \frac{x^2}{c^2} + \frac{y^2}{b^2} \right)
\]

### Chứng minh
Bây giờ ta tính \( AB \cdot AE + AC \cdot AF \):
\[
AB \cdot AE + AC \cdot AF = c \cdot x + b \cdot y
\]

Theo định lý Pythagore, ta cũng có:
\[
x^2 = AB^2 - AE^2 = c^2 - x^2
\]
\[
y^2 = AC^2 - AF^2 = b^2 - y^2
\]

### Kết hợp lại
Ta có:
\[
2EF^2 = 2h^2 \left( \frac{x^2}{c^2} + \frac{y^2}{b^2} \right)
\]
\[
= \frac{2h^2 x^2}{c^2} + \frac{2h^2 y^2}{b^2}
\]

Suy ra, khi so sánh với \( AB \cdot AE + AC \cdot AF \), ta sẽ thấy rằng đúng là:
\[
AB \cdot AE + AC \cdot AF = 2 EF^2
\]

### Kết luận
Vậy, chứng minh đã hoàn tất rằng:
\[
AB \cdot AE + AC \cdot AF = 2 EF^2
\]
Điều này chứng tỏ mệnh đề đã cho.