Để chứng minh rằng nếu \(\frac{a}{b} = \frac{b}{c}\) thì \(\frac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2} = \frac{a}{c}\), chúng ta bắt đầu từ giả thiết:

\[
\frac{a}{b} = \frac{b}{c}
\]

Từ điều này, ta có:

\[
a \cdot c = b^2
\]

Bây giờ, chúng ta sẽ tính hai vế trong biểu thức cần chứng minh:

\[
\frac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2}
\]

Thay \(b^2\) bằng \(a \cdot c\) trong biểu thức này:

\[
= \frac{a^2 + (a \cdot c)}{(a \cdot c) + c^2}
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ thay \(c\) bằng \(\frac{b^2}{a}\) (theo giả thiết). Nhưng để tách bạch, chúng ta sẽ quay lại biểu thức hiện tại.

Thay \(b\) bằng \(\frac{ac}{b}\) trong cả hai phần của phân số:

\[
= \frac{a^2 + b^2}{b^2 + \frac{b^4}{a^2}} = \frac{a^2b^2 + b^4}{b^2 a + c^2} = \frac{b^2 (a^2 + c^2)}{b^2 + c^2}
\]

Đến đây, chúng ta có thể thấy rằng:

\[
\frac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2} = \frac{a \cdot c}.
\]

Chúng ta cũng có thể viết lại các giá trị:

1. \(a = k \cdot b\)
2. \(c = k \cdot b\)

Cuối cùng, kiểm tra lại từ điều kiện, với b, c khác 0, ta nhận được kết quả là \(\frac{a^2 + b^2}{b^2 + c^2} = \frac{a}{c}\).

Vậy điều phải chứng minh là đúng, hoàn thành chứng minh.