Để khai triển các đẳng thức đã cho, chúng ta sẽ sử dụng công thức khai triển của đa thức lập phương:

\[
(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3
\]

**1. Khai triển \((3x + 1)^3\)**

Ở đây, \(a = 3x\) và \(b = 1\).

Áp dụng công thức:

\[
(3x + 1)^3 = (3x)^3 + 3(3x)^2(1) + 3(3x)(1^2) + (1)^3
\]

Tính từng phần:

- \((3x)^3 = 27x^3\)
- \(3(3x)^2(1) = 3 \cdot 9x^2 = 27x^2\)
- \(3(3x)(1^2) = 3 \cdot 3x = 9x\)
- \((1)^3 = 1\)

Kết hợp lại:

\[
(3x + 1)^3 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1
\]

---

**2. Khai triển \((5x + 1)^3\)**

Ở đây, \(a = 5x\) và \(b = 1\).

Áp dụng công thức:

\[
(5x + 1)^3 = (5x)^3 + 3(5x)^2(1) + 3(5x)(1^2) + (1)^3
\]

Tính từng phần:

- \((5x)^3 = 125x^3\)
- \(3(5x)^2(1) = 3 \cdot 25x^2 = 75x^2\)
- \(3(5x)(1^2) = 3 \cdot 5x = 15x\)
- \((1)^3 = 1\)

Kết hợp lại:

\[
(5x + 1)^3 = 125x^3 + 75x^2 + 15x + 1
\]

---

**3. Khai triển \((4x + 2y)^3\)**

Ở đây, \(a = 4x\) và \(b = 2y\).

Áp dụng công thức:

\[
(4x + 2y)^3 = (4x)^3 + 3(4x)^2(2y) + 3(4x)(2y)^2 + (2y)^3
\]

Tính từng phần:

- \((4x)^3 = 64x^3\)
- \(3(4x)^2(2y) = 3 \cdot 16x^2 \cdot 2y = 96x^2y\)
- \(3(4x)(2y)^2 = 3 \cdot 4x \cdot 4y^2 = 48xy^2\)
- \((2y)^3 = 8y^3\)

Kết hợp lại:

\[
(4x + 2y)^3 = 64x^3 + 96x^2y + 48xy^2 + 8y^3
\]

---

### Tóm tắt kết quả khai triển

1. \((3x + 1)^3 = 27x^3 + 27x^2 + 9x + 1\)
2. \((5x + 1)^3 = 125x^3 + 75x^2 + 15x + 1\)
3. \((4x + 2y)^3 = 64x^3 + 96x^2y + 48xy^2 + 8y^3\)