Chứng minh biểu thức sau luôn có giá trị âm

Để chứng minh rằng biểu thức \( D = -2x^2 - y^2 + 2xy - 2x - 2y - 6 \) luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến \( x \) và \( y \), chúng ta sẽ làm như sau:

1. **Thay đổi dạng:**
Ta sẽ sắp xếp lại biểu thức \( D \) để phân tích dễ hơn. Ta viết lại và nhóm các biến:

\[
D = -2x^2 + 2xy - y^2 - 2x - 2y - 6
\]

2. **Nhóm lại thành một biểu thức bậc hai:**
Ta có thể nhóm \( x \) và \( y \) lại để nhìn rõ hơn:

\[
D = -2\left(x^2 - xy + x\right) - (y^2 + 2y + 6)
\]

3. **Xem xét hàm bậc 2:**
Để phân tích sâu hơn, chúng ta có thể biểu diễn phần \( -2x^2 + 2xy - 2x \) như sau:

\[
D = -2\left( x^2 - xy + x \right) - (y^2 + 2y + 6)
\]

Phần thứ nhất \( x^2 - xy + x \) có thể tìm nghiệm bằng cách tính delta:

\[
\Delta = (-y + 2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = y^2 - 4y + 4 - 4 = y^2 - 4y
\]

Phương trình bậc hai \( x^2 - xy + x = 0 \) sẽ có hai nghiệm thực khi \( \Delta \geq 0 \), nghĩa là có thể có giá trị dương trong một số trường hợp.

4. **Xét phần y:**
Phần \( - (y^2 + 2y + 6) \) là một hàm bậc hai với hệ số trước \( y^2 \) âm. Nghĩa là nó sẽ luôn nhận giá trị âm cho mọi \( y \).

Để tính giá trị cực tiểu, ta tính đỉnh của hàm bậc hai \( y^2 + 2y + 6 \):

\[
y_{min} = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2} = -1
\]

Giá trị cực tiểu là:

\[
(-1)^2 + 2(-1) + 6 = 1 - 2 + 6 = 5
\]

Do đó \( y^2 + 2y + 6 \geq 5 \).

5. **Kết luận:**
Chúng ta có:

\[
D = - 2 (x^2 - xy + x) - (y^2 + 2y + 6) \leq -2(0) - 5 = -5 < 0
\]

Vì vậy, biểu thức \( D \) luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến \( x \) và \( y \).

Do đó, kết luận rằng \( D \) luôn âm cho mọi giá trị của \( x \) và \( y \) là đúng.