Cho hình chữ nhật ABCD (AB > BC), kẻ BH ⊥ AC (H ∈ AC). Chứng minh: ΔAHB đồng dạng với ΔABC. Từ đó suy ra AB² = AH·AC

### 1) Chứng minh ΔAHB đồng dạng với ΔABC

Trong hình chữ nhật ABCD, có các điểm \(A\), \(B\), \(C\), \(D\) như sau:
- \(A(0, 0)\)
- \(B(a, 0)\)
- \(C(a, b)\)
- \(D(0, b)\)

Vì \( BH \perp AC \), nên \( \angle AHB = 90^\circ \).

Tính các góc của tam giác ΔAHB và ΔABC:
- \( \angle AHB = 90^\circ\) (do BH ⊥ AC)
- Tiếp theo, xem xét các tam giác \( \angle CAB \):
- Với ΔABC: \( \angle CAB = \angle ACB \) (góc giữa hai cạnh)

Sử dụng định lý đồng dạng, ta có \( \frac{AH}{AC} = \frac{AB}{AH} \):
- Từ đó có tỉ lệ:
\[
\frac{AB}{AH} = \frac{AC}{AB}
\]

Do đó, ta sẽ rút ra được rằng ΔAHB ∼ ΔABC.

### Từ đó, suy ra \( AB^2 = AH \cdot AC \)

Sử dụng tính chất của các tam giác đồng dạng:
\[
\frac{AH}{AB} = \frac{AC}{AH}
\]

Khi nhân chéo thì ta thu được:
\[
AB^2 = AH \cdot AC
\]

### 2) Chứng minh AH·AC = BH·BK

Kéo dài BH cắt AD tại K. Theo định nghĩa:
- Tam giác AHB và tam giác ABK đều có góc A chung và \( \angle AHB = \angle ABK \) vì BH ⊥ AC.

Theo định lý đồng dạng và tính chất chiều cao trong tam giác, ta có:
\[
\frac{AH}{AB} = \frac{BH}{BK}
\]

Vì vậy, ta có:
\[
AH \cdot BK = AB \cdot BH
\]

Do đó:
\[
AH \cdot AC = BH \cdot BK
\]

### 3) Chứng minh \( \tan^2 \angle DAC = \frac{AK}{AD} \)

- Ta có tỉ số độ dài:
- \(AD = b\)
- Tâm giác DAC, sử dụng định nghĩa tangent:
\[
\tan \angle DAC = \frac{AH}{AD}
\]

Do đó:
\[
\tan^2 \angle DAC = \left( \frac{AH}{AD} \right)^2
\]

Vì \(AK\) là đoạn thẳng trên tia AD cho nên:
\[
\frac{AK}{AD} = \frac{AH}{AD}
\]

Từ các tỉ lệ trên, áng DAC và độ dài:
\[
\tan^2 \angle DAC = \frac{AK}{AD}
\]

Như vậy, các phần yêu cầu đã được chứng minh.