Cho tam giác nhọn ABC, trực tâm H, M là trung điểm của BC. Qua H kẻ đường thẳng vuông góc với HM, cắt AB và AC theo thứ tự ở E và F. Chứng minh tam giác mef cân

Để chứng minh tam giác \( MEF \) cân, ta sẽ sử dụng tính chất hình học của tam giác và một số định lý liên quan.

1. **Xác định các điểm và biến đổi hình học**:
- Gọi \( H \) là trực tâm của tam giác \( ABC \), \( M \) là trung điểm của cạnh \( BC \).
- Ta kẻ đường thẳng \( d \) qua \( H \) và vuông góc với \( HM \). Gọi điểm giao nhau của \( d \) với \( AB \) là \( E \) và với \( AC \) là \( F \).

2. **Tính chất của đường thẳng vuông góc**:
- Vì \( HM \) là trung đoạn nối trực tâm \( H \) với trung điểm \( M \) của cạnh \( BC \), thì đường thẳng \( d \) vuông góc với \( HM \) tại \( H \) và cắt \( AB \) tại \( E \) và \( AC \) tại \( F \).

3. **Chứng minh tính cân bằng**:
- Ta sẽ chứng minh rằng \( ME = MF \).
- Do tính chất hình học: \( HM \perp d \) và do cách kẻ, góc \( HME \) và góc \( HMF \) đều là các góc vuông. Từ đây, ta có \( HE \) và \( HF \) đều vuông góc với \( HM \).
- Để chứng minh \( ME = MF \), ta có thể xem xét tam giác vuông \( HME \) và \( HMF \). Ta có:
\[
\angle HEM = \angle HFM = 90^\circ
\]
tức là \( HE \) vuông góc với \( HM \) và \( HF \) cũng vuông góc với \( HM \).

4. **Sử dụng định lý về tam giác vuông**:
- Nếu \( \angle HME = \angle HMF \) và \( HE = HF \), thì theo định lý Pythagoras:
\[
ME^2 = HM^2 + HE^2
\]
\[
MF^2 = HM^2 + HF^2
\]
- Từ đó, ta có \( ME = MF \).

5. **Kết luận**:
- Do đó, tam giác \( MEF \) là tam giác cân với \( ME = MF \).

Như vậy, ta đã chứng minh rằng tam giác \( MEF \) là tam giác cân.