Để tìm số tự nhiên \( n \) sao cho \( A = n^{2012} + n^{2002} + 1 \) là số nguyên tố, ta sẽ phân tích biểu thức này:

1. **Xét trường hợp \( n = 0 \)**:
\[
A = 0^{2012} + 0^{2002} + 1 = 1
\]
1 không phải là số nguyên tố.

2. **Xét trường hợp \( n = 1 \)**:
\[
A = 1^{2012} + 1^{2002} + 1 = 1 + 1 + 1 = 3
\]
3 là số nguyên tố.

3. **Xét trường hợp \( n = 2 \)**:
\[
A = 2^{2012} + 2^{2002} + 1
\]
Tính giá trị:
\[
2^{2012} + 2^{2002} + 1
\]
Ta thấy rằng \( 2^{2002} \) là một số lớn, do đó \( A \) sẽ không phải là một số nguyên tố.

4. **Xét các trường hợp \( n \geq 3 \)**:
Giả sử \( n \) là số tự nhiên lớn hơn 1:
\[
A = n^{2012} + n^{2002} + 1
\]
Ở đây, phương trình sẽ có dạng \( n^{2012} + n^{2002} + 1 \). Khi \( n \geq 3 \), cả ba hạng tử đều lớn hơn 1, do đó \( A \) sẽ lớn hơn 3 và rất khó để \( A \) là số nguyên tố.

### Kết luận
Qua việc kiểm tra các giá trị \( n \) từ 0 đến 2, ta chỉ tìm thấy một giá trị là \( n = 1 \) để \( A \) là số nguyên tố. Do đó, số tự nhiên duy nhất \( n \) để \( A \) là số nguyên tố là:

\[
\boxed{1}
\]