Chứng minh rằng: MN≥CD−AB / 2

Để chứng minh bất đẳng thức \( MN \geq \frac{CD - AB}{2} \), ta sẽ sử dụng một số tính chất hình học cơ bản.

**Bước 1: Đặt các vị trí của các điểm.**

Giả sử tứ giác \( ABCD \) có \( A(0,0) \), \( B(a,0) \), \( C(b,h) \), và \( D(c,h) \), với \( AB < CD \) nghĩa là \( a < c - b \).

**Bước 2: Tính tọa độ trung điểm M và N.**

- Trung điểm \( M \) của đoạn \( AC \) có tọa độ:
\[
M = \left( \frac{0 + b}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( \frac{b}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

- Trung điểm \( N \) của đoạn \( BD \) có tọa độ:
\[
N = \left( \frac{a + c}{2}, \frac{0 + h}{2} \right) = \left( \frac{a + c}{2}, \frac{h}{2} \right)
\]

**Bước 3: Tính độ dài đoạn thẳng \( MN \).**

Độ dài đoạn thẳng \( MN \) được tính bằng công thức sau:
\[
MN = \sqrt{ \left( \frac{b}{2} - \frac{a + c}{2} \right)^2 + \left( \frac{h}{2} - \frac{h}{2} \right)^2 } = \left| \frac{b - a - c}{2} \right|
\]

**Bước 4: Chứng minh bất đẳng thức.**

Bắt đầu từ bất đẳng thức mà chúng ta cần chứng minh:
\[
MN \geq \frac{CD - AB}{2}
\]

Chúng ta có:
\[
CD = c - b \quad \text{và} \quad AB = a
\]
Do đó,
\[
\frac{CD - AB}{2} = \frac{(c - b) - a}{2} = \frac{c - b - a}{2}
\]

Vì \( \left| \frac{b - a - c}{2} \right| \) có thể được viết lại là:
\[
\left| \frac{-(c - b - a)}{2} \right| = \frac{c - b - a}{2} \text{ nếu } c - b - a \geq 0
\]

Như vậy, ta có:
\[
MN = \left| \frac{b - a - c}{2} \right| \geq \frac{c - b - a}{2} \text{ (nếu } c - b - a \geq 0\text{)}
\]
Điều này khẳng định rằng:
\[
MN \geq \frac{CD - AB}{2}
\]
Kết luận rằng bất đẳng thức đã được chứng minh.

\(\Box\)