Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức đã cho, ta sẽ xử lý từng biểu thức một.

### a) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) và \( B \):

1. **Biểu thức \( A = \sqrt{x-1} + 6 \)**:
- Điều kiện \( x - 1 \geq 0 \) hay \( x \geq 1 \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( A \) xảy ra khi \( x = 1 \):
\[
A_{\text{min}} = \sqrt{1-1} + 6 = 0 + 6 = 6.
\]

2. **Biểu thức \( B = \sqrt{x^2 - 4x + 7} \)**:
- Ta rút gọn \( B \):
\[
B = \sqrt{(x-2)^2 + 3}.
\]
- Biểu thức \((x-2)^2\) luôn không âm và có giá trị nhỏ nhất là 0 (khi \( x = 2 \)):
\[
B_{\text{min}} = \sqrt{0 + 3} = \sqrt{3}.
\]

### b) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( C \) và \( D \):

1. **Biểu thức \( C = 5 - \sqrt{3x - 2} \)**:
- Điều kiện \( 3x - 2 \geq 0 \) hay \( x \geq \frac{2}{3} \).
- Giá trị lớn nhất xảy ra khi \( \sqrt{3x - 2} \) nhỏ nhất, tức là khi \( x = \frac{2}{3} \):
\[
C_{\text{max}} = 5 - \sqrt{3 \cdot \frac{2}{3} - 2} = 5 - \sqrt{0} = 5.
\]

2. **Biểu thức \( D = 1 + \sqrt{2x - x^2 + 1} \)**:
- Ta có \( 2x - x^2 + 1 = -(x^2 - 2x - 1) = -((x-1)^2 + 2) \), nên biểu thức này không có giá trị lớn hơn 1.
- Biểu thức \( D \) sẽ đạt giá trị lớn nhất khi \( \sqrt{2x - x^2 + 1} \) lớn nhất, có thể được phân tích nhiều hơn để tìm giá trị cực trị.

Tóm lại:
- Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là \( 6 \).
- Giá trị nhỏ nhất của \( B \) là \( \sqrt{3} \).
- Giá trị lớn nhất của \( C \) là \( 5 \).
- Giá trị lớn nhất của \( D \) cần xem xét kỹ hơn, có thể sẽ khoảng 2 nếu không có điểm cực trị nào lớn hơn.