Để chứng minh rằng tứ giác EFGH là hình chữ nhật, ta sẽ sử dụng một vài tính chất của hình thoi và kiến thức về vectơ.

1. **Đặt tọa độ cho các điểm**:
Giả sử hình thoi ABCD có các tọa độ như sau:
- A(0, 0)
- B(a, b)
- C(c, d)
- D(e, f)

Do ABCD là hình thoi, các cạnh AB, BC, CD và AD đều bằng nhau. Vì vậy, ta có các điều kiện sau:
- AB = BC = CD = AD.
- Lấy trung điểm:
- E là trung điểm của AB, ta có:
\[ E = \left(\frac{0 + a}{2}, \frac{0 + b}{2}\right) = \left(\frac{a}{2}, \frac{b}{2}\right) \]
- F là trung điểm của BC, ta có:
\[ F = \left(\frac{a + c}{2}, \frac{b + d}{2}\right) \]
- G là trung điểm của CD, ta có:
\[ G = \left(\frac{c + e}{2}, \frac{d + f}{2}\right) \]
- H là trung điểm của AD, ta có:
\[ H = \left(\frac{0 + e}{2}, \frac{0 + f}{2}\right) = \left(\frac{e}{2}, \frac{f}{2}\right) \]

2. **Tính độ dài các cạnh**:
- Đầu tiên, ta cần kiểm tra xem các cạnh EF, FG, GH và HE có bằng nhau không.
- Cạnh EF:
\[
EF = \sqrt{\left(\frac{a}{2} - \frac{a+c}{2}\right)^2 + \left(\frac{b}{2} - \frac{b+d}{2}\right)^2}
\]
- Cạnh FG:
\[
FG = \sqrt{\left(\frac{a+c}{2} - \frac{c+e}{2}\right)^2 + \left(\frac{b+d}{2} - \frac{d+f}{2}\right)^2}
\]
- Cạnh GH:
\[
GH = \sqrt{\left(\frac{c+e}{2} - \frac{e}{2}\right)^2 + \left(\frac{d+f}{2} - \frac{f}{2}\right)^2}
\]
- Cạnh HE:
\[
HE = \sqrt{\left(\frac{e}{2} - \frac{a}{2}\right)^2 + \left(\frac{f}{2} - \frac{b}{2}\right)^2}
\]

3. **Tính góc**:
Để chứng minh EFGH là hình chữ nhật, ta cần chứng minh rằng góc EFG và góc FGH đều là 90 độ. Ta có thể tính tích vô hướng của hai vectơ EF và FG để kiểm tra tính vuông góc:
\[
EF \cdot FG = 0 \implies \text{EF vuông góc với FG}
\]

Sau đó, ta làm tương tự đối với các cặp cạnh còn lại để chứng minh rằng cả bốn góc đều là 90 độ.

4. **Kết luận**:
Nếu các cạnh đối diện ở EFGH bằng nhau và tất cả các góc đều là 90 độ, thì EFGH là hình chữ nhật.

Theo các tính chất đã nêu của hình thoi và cộng thêm kiến thức về hình học trong mặt phẳng, ta có thể kết luận rằng EFGH là hình chữ nhật.