Để giải bài toán này, ta sẽ sử dụng các công thức cơ bản về vận tốc, quãng đường và thời gian.

### Gọi Ký Hiệu:
- Gọi \( v_T \) là vận tốc của Bắc Toàn (km/h).
- Gọi \( v_N \) là vận tốc của cô Ba Ngân (km/h).
- Khoảng cách từ thị xã về làng là 38 km.

### Phân tích Tình Huống Gặp Nhau:
1. Khi gặp nhau:
- Bắc Toàn đã đi được 1 giờ rưỡi (1.5 giờ), nên quãng đường Bắc Toàn đã đi là:
\[
d_T = v_T \times 1.5
\]
- Cô Ba Ngân đã đi được 2 giờ, nên quãng đường cô đã đi là:
\[
d_N = v_N \times 2
\]
- Từ đó ta có phương trình:
\[
d_T + d_N = 38 \quad \text{(1)}
\]

2. Lần khác:
- Sau 1 giờ 15 phút (1.25 giờ), họ còn cách nhau 10,5 km. Khi đó, quãng đường mà Bắc Toàn đã đi là:
\[
d_T' = v_T \times 1.25
\]
- Quãng đường cô Ba Ngân đã đi là:
\[
d_N' = v_N \times 1.25
\]
- Lúc này, ta có phương trình:
\[
d_T' + d_N' + 10.5 = 38 \quad \text{(2)}
\]

### Giải Hệ Phương Trình:
Từ (1) ta có:
\[
v_T \times 1.5 + v_N \times 2 = 38 \quad \text{(1)}
\]

Từ (2) ta có:
\[
v_T \times 1.25 + v_N \times 1.25 + 10.5 = 38
\]
\[
(v_T + v_N) \times 1.25 = 27.5
\]
\[
v_T + v_N = \frac{27.5}{1.25} = 22 \quad \text{(3)}
\]

Giờ ta có hệ phương trình gồm (1) và (3):
1. \( 1.5v_T + 2v_N = 38 \)
2. \( v_T + v_N = 22 \)

#### Từ phương trình (3), ta có:
\[
v_N = 22 - v_T
\]

Tiến hành thay vào phương trình (1):
\[
1.5v_T + 2(22 - v_T) = 38
\]
\[
1.5v_T + 44 - 2v_T = 38
\]
\[
-0.5v_T + 44 = 38
\]
\[
-0.5v_T = -6
\]
\[
v_T = 12 \quad \text{(km/h)}
\]

Thay \( v_T = 12 \) vào phương trình (3):
\[
12 + v_N = 22
\]
\[
v_N = 10 \quad \text{(km/h)}
\]

### Kết quả:
- Vận tốc của Bắc Toàn là **12 km/h**.
- Vận tốc của cô Ba Ngân là **10 km/h**.