Để tìm mệnh đề sai trong bài toán trên, ta sẽ phân tích từng mệnh đề:

a) A, B, C thẳng hàng \( \Leftrightarrow \overline{AB} = k \cdot \overline{AC} \):
- Đúng, nếu A, B, C thẳng hàng, thì AB và AC có tỷ lệ nhất định.

b) A, B, C, D không cùng ở trên một đường thẳng, \( \overline{AB} \parallel \overline{CD} \Rightarrow \overline{AB} = k \cdot \overline{CD} \):
- Sai, vì nếu hai đoạn thẳng song song mà không nằm trên một đường thẳng, tỷ lệ kích thước không thể được khẳng định.

c) \( \overline{AB} = 3 \cdot \overline{MN} \Rightarrow \overline{AB} \perp \overline{MN} \):
- Sai, vì tỷ lệ kích thước không quy định rằng chúng phải vuông góc với nhau.

d) \( \overline{b} = k \cdot \overline{a} \) thì \( |\overline{b}| = k \cdot |\overline{a}| \):
- Đúng, tỷ lệ này là chính xác.

Tóm lại, mệnh đề sai là **b** và **c**.