Sắp xếp các số lớn dần (hoặc nhỏ dần) và ta được a1, a2, a3, ..., a2000 Giả sử không tồn tại một dãy con nào gồm 45 số bằng nhau trong dãy trên Ta chia dãy trên thành các dãy a1, a2, ..., a44 a45, a46, ..., a88 ... a1937, a1938, ..., a1980 a1981, a1982,...., a2000 Ta có 45 dãy gồm: 44 dãy có 44 số và 1 dãy cuối có 20 số Ta thấy a1, a45, ..., a1937, a1981 là các số khác nhau (theo điều giả sử) và dãy này có 45 số.