Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = xyz \) với điều kiện \( \frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} + \frac{1}{1+z} \geq 2 \), chúng ta có thể sử dụng một số bất đẳng thức.

Đầu tiên, ta đưa về biểu thức mà ta có thể dễ dàng phân tích hơn bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Cụ thể, ta có:

\[
\frac{1}{1+x} + \frac{1}{1+y} + \frac{1}{1+z} \geq \frac{(1+1+1)^2}{(1+x) + (1+y) + (1+z)} = \frac{9}{3 + x + y + z}.
\]

Với điều kiện đã cho, ta suy ra:

\[
\frac{9}{3 + x + y + z} \geq 2.
\]

Khi đó, ta có:

\[
9 \geq 2(3 + x + y + z).
\]

Suy ra:

\[
3 \geq 2(x + y + z).
\]

Cũng có nghĩa là:

\[
\frac{x + y + z}{3} \leq \frac{3}{2}.
\]

Theo bất đẳng thức AM-GM, ta có:

\[
\frac{x + y + z}{3} \geq \sqrt[3]{xyz}.
\]

Kết hợp các kết quả trên, ta có:

\[
\sqrt[3]{xyz} \leq \frac{3}{2} \Rightarrow xyz \leq \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}.
\]

Để đạt được giá trị \( \frac{27}{8} \), ta cần tất cả các số \( x, y, z \) bằng nhau. Gọi \( x = y = z \). Khi đó điều kiện \( \frac{3}{1+x} \geq 2 \) đưa đến:

\[
\frac{3}{1+x} \geq 2 \Rightarrow 3 \geq 2(1+x) \Rightarrow 3 \geq 2 + 2x \Rightarrow 1 \geq 2x \Rightarrow x \leq \frac{1}{2}.
\]

Với giá trị lớn nhất của \( x \), ta có \( x = y = z = \frac{1}{2} \) dẫn đến:

\[
xyz = \left(\frac{1}{2}\right)^3 = \frac{1}{8}.
\]

Kết luận, giá trị lớn nhất của \( A = xyz \) thoả mãn điều kiện đã cho là:

\[
\boxed{\frac{1}{8}}.
\]