Ta có \({2^x} + y \le {\log _2}\left( {x - y} \right)\)

\( \Leftrightarrow {2^x} + x \le {\log _2}\left( {x - y} \right) \Leftrightarrow {2^x} + x \le {\log _2}\left( {x - y} \right) + {2^{{{\log }_2}\left( {x - y} \right)}}\)

• Xét hàm số \(f(t) = {2^t} + t\) có \(f'\left( t \right) = {2^t}\ln 2 + 1 > 0,\,\,\forall t \in \mathbb{R}.\)

Hàm số đồng biến trên \(\mathbb{R}\), do đó: \((*) \Leftrightarrow x \le {\log _2}\left( {x - y} \right) \Leftrightarrow {2^x} \le x - y \Leftrightarrow y \le x - {2^x}\,\,(**)\)

• Xét hàm số \(g(x) = x - {2^x}\) trên đoạn \(\left[ { - 2\,;\,\,10} \right]\).

Ta có: \(g'\left( x \right) = 1 - {2^x}\ln 2\) và \(g'\left( x \right) = 0 \Leftrightarrow x = {\log _2}\left( {{{\log }_2}e} \right)\)

Bảng biến thiên

Kết hợp \((**)\) và bảng biên thiên ta có: \( - 2 \le y \le {\log _2}\left( {\frac{{{{\log }_2}e}}{e}} \right)\).

Do \(y \in \mathbb{Z}\) nên \(y =  - 2\) hoặc \(y =  - 1\).

• Với \(y =  - 2\) ta có: \(g\left( x \right) \ge  - 2.\) Do \(x \in \mathbb{Z}\) nên suy ra \(x \in \left\{ { - 1\,;\,\,0\,;\,\,1\,;\,\,2} \right\}.\)

Trường hợp này có bốn cặp số \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\) thỏa mãn.

• Với \(y =  - 1\) ta có: \(g\left( x \right) \ge  - 1.\) Do \(x \in \mathbb{Z}\) nên suy ra \(x \in \left\{ {0\,;\,\,1} \right\}.\)

Trường hợp này có hai cặp số \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\) thỏa mãn.

Vậy có tất cả 6 cặp số \(\left( {x\,;\,\,y} \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Đáp án: 6.