• \({d_1}\) đi qua điểm \(M\left( {1\,;\,\,0\,;\,\,0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \[\overrightarrow   = \left( {2\,;\,\,1\,;\,\,3} \right).\]

• \({d_2}\) đi qua điểm \(N\left( {1\,;\,\,2\,;\,\,m} \right)\) và có vectơ chỉ phương \(\overrightarrow   = \left( {1\,;\,\,1\,;\,\,0} \right).\)

\( \Rightarrow \left[ {\overrightarrow ,\,\,\overrightarrow } \right] = \left( { - 3\,;\,\,3\,;\,\,1} \right);\,\,\overrightarrow {MN}  = \left( {0\,;\,\,2\,;\,\,m} \right).\)

\({d_1}\) và \({d_2}\) chéo nhau khi và chỉ khi \(\left[ {\overrightarrow ,\overrightarrow } \right] \cdot \overrightarrow {MN}  \ne 0 \Leftrightarrow m \ne  - 6.\)

Mặt khác, \(d\left( {{d_1},\,\,{d_2}} \right) = \frac{5}{{\sqrt {19} }} \Leftrightarrow \frac{{\left| {\left[ {\overrightarrow ,\,\,\overrightarrow } \right] \cdot \overrightarrow {MN} } \right|}}{{\left| {\left[ {\overrightarrow ,\,\,\overrightarrow } \right]} \right|}} = \frac{5}{{\sqrt {19} }} \Leftrightarrow \frac{{|m + 6|}}{{\sqrt {19} }} = \frac{5}{{\sqrt {19} }} \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{l}}{m =  - 1}\\{m =  - 11}\end{array}} \right.\)

Khi đó tổng các phần tử của \(S\) bằng \[ - 12.\]Đáp án: \[ - 12\].