Ta có \({a^{{x^2}}} \cdot {b^{x + 1}} = 1 \Leftrightarrow {\log _a}\left( {{a^{{x^2}}} \cdot {b^{x + 1}}} \right) = {\log _a}1\)

\( \Leftrightarrow {\log _a}{a^{{x^2}}} + {\log _a}{b^{x + 1}} = 0 \Leftrightarrow {x^2} + \left( {x + 1} \right){\log _a}b = 0\)

\( \Leftrightarrow {x^2} + {\log _a}b \cdot x + {\log _a}b = 0\, & (*)\)

Phương trình \((*)\) có nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  = {\left( {{{\log }_a}b} \right)^2} - 4{\log _a}b \ge 0\)

Mà \(a > 1\,,\,\,b > 1\) nên \({\log _a}b > 0\) suy ra \({\log _a}b \ge 4.\)

Đặt \(t = {\log _a}b \ge 4\), khi đó \(P = {\log _a}a + {\log _a}b + \frac{4}{{{{\log }_a}b}}\)

\( = 1 + t + \frac{4}{t} = f\left( t \right) \Rightarrow f'\left( t \right) = 1 - \frac{4}{{{t^2}}} = \frac{{{t^2} - 4}}{{{t^2}}} > 0\,;\,\,\forall t \ge 4\)

Suy ra \(f\left( t \right)\) là hàm số đồng biến trên \(\left( {4\,;\,\, + \infty } \right)\)

Vậy \(\min P = {\min _{\left[ {4\,;\,\, + \infty } \right)}}f\left( t \right) = f\left( 4 \right) = 6.\) Đáp án: 6.